Мы уже говорили, что в полупроводниках имеет смысл изучать в первую очередь те акустические эффекты, которые обусловлены взаимодействием звука с электронами проводимости. Ведь именно небольшое число электронов проводимости отличает полупроводник от диэлектрика. Типичные концентрации электронов в тех случаях, которые нас будут интересовать, составляют 1011 - 1016 см-3.

Рассмотрим акустические эффекты только в одном типе полупроводников, а именно в пьезоэлектрических полупроводниках. Акустические эффекты в них наибо-лее ярко выражены, лучше и подробнее всего исследо-ваны.

Пьезоэлектрики - это такие кристаллы, в которых под влиянием однородной деформации возникают дипольный момент, а значит, и электрическое поле, пропорциональные деформации. Наличие пьезоэлектрических свойств тесно связано с симметрией кристалла. Пояс-ним это на модели ионной решетки, изображенной на рис. 1,а. На этом рисунке положительные попы закрашены. а отрицательные изображены светлыми кружка-ми. Видно, что если эту решетку подвергнуть однород-ной деформации, то она не поляризуется (рис. 1,б). Рассмотрим теперь решетку, изображенную на рис, 2,а. Если эту решетку подвергнуть деформации растяжения в направлении, указанном стрелкой, то она поляризует-ся, поскольку «центры тяжести» положительных и отри-цательных ионов при этом сдвигаются друг относитель-но друга (рис. 2, б, в). Наоборот, если поместить такую решетку в однородное электрическое поле, она деформируется. Деформация кристалла, пропорциональная приложенному электрическому полю, называется прямым пьезоэлектрическим эффектом; возникновение электри-ческой поляризации при деформации -- обратным пье-зоэлектрическим эффектом.

Пьезоэлектрический эффект существует в целом ряде полупроводников -- CdS, Zn0, GaAs, InSb, Те и др. Большинство опытов, в особенности на первом эта-пе, было проведено на CdS -- этот полупроводник яв-ляется довольно сильным пьезоэлектриком и в то же время фотопроводником (т. е. изменяет свою проводи-мость при освещении). Поэтому в нем, как уже говорилось, легко можно отделять электронные эффекты.

Если в пьезоэлектрике распространяется звук, т. е. волна деформации, то она сопровождается электриче-скими полями, обладающими пространственной и вре-менной периодичностью звуковой волны. Эти поля про-дольные, т. е. параллельные направлению распростра-нения звука. Можно сказать, что в пьезоэлектриках всякая звуковая волна сопровождается волной продоль-ного электрического поля (мы его будем называть пьезоэлектрическим полем). В качестве оценки напря-женности этих полей можно привести следующую циф-ру: при распространении звука в таком сильном пьезо-электрике, как CdS, при плотности потока звуковой энергии S порядка 1 Вт/см2 амплитуда напряженности переменного поля может достигать нескольких сотен вольт на сантиметр.

Выясним теперь, как влияет пьезоэлектрический эф-фект на распространение звука в пьезодиэлектриках. Пусть продольный или поперечный звук распространя-ется в пьезодиэлектрике вдоль оси симметрии кристал-ла, которую назовем осью ОХ. Деформация в такой волне характеризуется величиной du/dx, где и{х) -- смещение точки кристалла в звуковой волне. В непьезоэлектрическом кристалле при такой деформации воз-никает упругое напряжение S:

S = л du/dx

где К -- модуль упругости. Это соотношение выража-ет известный закон Гука. В пьезоэлектрике, как мы ви-дели, при деформации возникает дипольный момент, на который действует электрическое поле Е. В резуль-тате при наличии поля Е в пьезоэлектрнке упругое на-пряжение равно:

S = л du/dx + вE (1)

где в -- так называемый пьезоэлектрический модуль. Кроме того, при деформации в пьезоэлектрике возника-ет дополнительная поляризация. Соответственно в обычном соотношении, связывающем электрическую ин-дукцию D с напряженностью поля Е (D=еE, где е -- диэлектрическая проницаемость), появляется допол-нительный член -- 4лв du/dx.

Для вычисления скорости звука в пьезодиэлектрике достаточно соотношение (1) и соотношение между D и Е подставить в уравнение теории упругости:

с d2u/dt2 = ds/dx

(с -- плотность кристалла) и в уравнение Пуассона dD/dx = 0 (диэлектрик!). В результате несложных преобра-зований получается величина:

щd = v л / с * (1 + ч)Ѕ , ч = 4рвІ/ел (2)

Первое слагаемое в выражении для щd дописывает вклад от близкодействующих упругих сил, которые су-ществуют и в непьезоэлектриках. Второе обусловлено .дополнительными квазиупругими силами, связанными с пьезоэлектрическими полями. Таким образом, роль пьезоэлектрического эффекта определяется величиной ч , которую мы назовем коэффициентом пьезоэлектриче-ской связи. В большинстве известных пьезоэлектриче-ских полупроводников ч не превышает 0,1. Поэтому ве-личину ч можно считать малым параметром теории, что мы и будем делать в дальнейшем. Так, вместо (2) имеем:

щd = щ0(1 + ч/2), щ0 = v л / с

Обратимся теперь к пьезополупроводникам. Как взаимодействуют электроны проводимости с пьезоэлек-трическим полем? Предположим сначала, что звук «замер» -- созда-на периодическая в пространстве статистическая де-формация:

u(x) = u0 cos qx.

В пьезодиэлектрике из уравнения Пуассона мы сразу бы получили: E = 4рв du/dx е. Электрический потенциал поля ц был бы при этом равен (Е = -- dц/dx).

ц0 = 4рвu / е

А что будет с электронами в полупроводнике? Они перераспределятся в пространстве, стремясь стечь с по-тенциальных «горбов» и заполнить потенциальные «ямы». При этом уменьшится первоначальный потенциал (ц0, или, как говорят, произойдет его экранирование электронами проводимости. Поэтому первый вопрос, который следует решить: как перераспределяются электроны в поле потенциала и каким образом они его бу-дут экранировать? Для решения этого вопроса следу-ет выяснить, как нужно описывать движение электро-на в поле звуковой волны. Это существенно зависит от того, какова величина соотношения между длиной звуковой волны 2л/q и длиной l свободного пробега электронов -- какова величина параметра ql. Этот па-раметр играет центральную роль в теории акустических свойств проводников; при различных его значениях электроны по-разному взаимодействуют со звуком. Обычно в пьезоэлектрических полупроводниках ql «1, поэтому пока ограничимся рассмотрением этого слу-чая. В чистых металлах при низких температурах мо-жет выполняться противоположное неравенство. Об этом пойдет речь в следующей главе.

Условие ql «1 означает, что на расстояниях поряд-ка длины звуковой волны электрон успевает много раз столкнуться. В процессе столкновений устанавливается равновесное распределение электронов -- электроны лишены индивидуальности, и их можно описывать как объемный заряд, характеризуемый электропроводно-стью о и коэффициентом диффузии D. В результате плотность тока j можно записать в виде:

j = у (- dц/dx) - e D dn/dx

где n -- концентрация электронов. В стационарном состоянии плотность тока j в отсутствие внешнего электрического поля должна обращаются в нуль. Потому

n - n0 = - уц / e D ,

где n0 - равновесная концентрация электронов. Если это выражение подставить в уравнение Пуассона, имеющее в полупроводнике вид:

dD/dx = 4р(n - n0)e ,

и использовать выражение для D, то сразу получим:

ц = ц0 (qR)2 / (1 + ((qR)2) (3)

Здесь - радиус экранирования Дебая -- Хюккеля, равный

R = v еD/4ру = v екФ/4рeІn0 (4)

(Ф -- температура, к -- постоянная Больцмана).

Таким образом видно, что степень экранирования пьезоэлектрнческого потенциала определяется соотно-шением между длиной волны 2р/q и радиусом экрани-рования R.. Обычно говорят о дебаевском экранирова-нии, когда речь идет, например, о кулоновском поле иона: поле «голого» заряда 1/r в результате экраниро-вания приобретает вид: 1/r ехр(- r / R ), В данном же

случае речь идет об экранировании пространственно-периодического потенциала. При qR «1 устанавлива-ется почти полное экранирование, и ц « ц0. Наоборот при qR »1 перераспределение электронов в простран-стве почти не реагирует на коротковолновый звук. Со-отношение (3) можно понять еще и следующим обра-зом. В стационарном состоянии имеет место равнове-сие тока проводимости (вызванного наличием поля) и диффузионного тока (вызванного перераспределением электронов в пространстве). Поэтому электроны пере-распределяются тем в большей степени, чем больше от-ношение электропроводности к коэффициенту диффу-зии (т. е. чем меньше R при заданной величине q). В свою очередь, чем больше электронов перераспредели-

лось в пространстве, тем более эффективно экранирование затравочного потенциала ц0.

Приведем характерные значения радиуса экраниро-вания в типичных случаях. В CdS при комнатной температуре и n0 = 1012 см-3 R = 5 * 10-4 см: при n0 =1014 см-3 R = 5 * 10-5 см.

Учтем теперь, что бегущая звуковая волна не стоит на месте, а распространяется по кристаллу, создавая электрическое поле, меняющееся в каждой точке кри-сталла с частотой звука щІ. Поэтому возникает вопрос, за какое же время устанавливается статическая кар-тина экранирования, описанная выше. Таким характерным временем является максвелловское время ре-лаксации:

ф = е/4ру

Оно обратно пропорционально электропроводности у, что естественно: ведь именно благодаря процессам электропроводности электроны проводимости могут перераспределяться в пространстве.

Если величина щф мала, то за период звука статиче-ское экранирование успевает установиться почти пол-ностью, и картина пространственного распределения электронов мало отличается от той, которая была бы в статическом случае. При этом, как мы видели, потен-циал ц отличается от ц0 множителем (qR)2 [1 + (qR)2 ]-1. Такой же множитель должен появиться и в слагаемом, описывающем вклад в скорость звука за счет пьезоэлектрического эффекта:

щ = щ0 [1 + ч (qR)2 /2 (1 + (qR)2 )]

В обратном предельном случае, когда щф »1, экранирование не успевает установиться, и скорость звука в полупроводнике равна щd.

2. ПОГЛОЩЕНИЕ И УСИЛЕНИЕ ЗВУКА

При распространении бегущей звуковой волны пространственное распределение электронов стремится следовать за пространственным распределением пьезоэлектрического потенциала. Соответственно пере-менные пьезоэлектрические поля порождают перемен-ные электронные токи, которые и «подстраивают» рас-пределение электронов к распределению потенциала. При протекании этих токов в проводнике должно вы-деляться джоулево тепло. В результате при распространении звука механическая энергия звуковой волны переходит в энергию беспорядочного теплового дви-жения, т. е. происходит поглощение звука. Интенсив-ность поглощаемого звука изменяется по закону:

S (х) =S (0) ехр( - Гх),

где S(0) -- интенсивность «на входе» кристалла. Вели-чина Г называется коэффициентом поглощения звука.

Для отношения коэффициента поглощения звука Г к величине его волнового вектора q можно получить следующее выражение:

Г / q = чщф/((1 + q2R2)2 + (щф) 2) (5)

Частотной зависимости этого выражения можно дать следующее наглядное объяснение.

Переменный ток, создаваемый пьезоэлектрическим почтем, вызывает перераспределение свободных заря-дов. Перераспределенные заряды, в свою очередь, соз-дают добавочное электрическое поле. Оно, как уже го-ворилось, направлено противоположно первоначально-му электрическому, полю и, следовательно, приводит к уменьшению тока проводимости; ф и есть то время, за которое происходит перераспределение свободных за-рядов. При статической деформации заряды перерас-пределяются и их поле компенсирует (экранирует) пьезоэлектрическое поле. таким образом, что ток ста-новится равным нулю.

Если деформация измеряется с частотой щ, которая гораздо меньше 1/ ф, устанавливается почти полная ком-пенсация. Точнее, поле объемных зарядов в случае пе-ременной деформации, создаваемой звуком, отличается от статического поля на малую величину, пропорциональную щф. Поэтому в пьезоэлектрике протекает пере-менный ток, пропорциональный той же малой величине щф. Соответственно коэффициент Г, определяемый квадратом плотности тока, оказывается пропорциональным щ2.

В обратном предельном случае больших щф поле объемных зарядов за период звука вообще не успевает возникнуть. Поэтому при щф »1 коэффициент пропор-циональности между плотностью тока и электрическим полем оказывается вообще независящим от частоты. Не зависит от частоты и коэффициент Г. Член (щф) 2 в знаменателе (5) и обеспечивает предельный переход от одного случая к другому. . Наконец, при qR » 1 коэффициент поглощения быст-ро убывает при увеличении частоты. Это связано с тем (уже отмечавшимся выше) обстоятельством, что звуко-вая волна, длина которой гораздо меньше радиуса эк-ранирования, почти не вызывает перераспределения за-ряда даже в статическом случае.

Коэффициент поглощения достигает максимально-го значения при частоте щm = щ0/R, т. е. когда длина волны равна 2рR; максимальное значение Гmo коэффи-циента поглощения равно ч/4R.

Характер частотной зависимости коэффициента по-глощения определяется величиной щmф. Если щmф « 1, то максимум получается сравнительно острым.

В противоположном предельною случае коэффици-ент поглощения растет пропорционально щ2 вплоть до частот порядка 1/ф, после чего его рост становится очень медленным. Максимум в этом случае оказывает-ся более пологим. При щ » щm коэффициент поглоще-ния во всех случаях убывает пропорционально щ2. Се-мейство Г(щ) при разных значениях щmф приведено на рис. 3.

Интересно проследить характер зависимости коэф-фициента поглощения Г от электронной концентрации n0. Обычно проводимость у пропорциональна n0: у = е n0м, где м - так называемая подвижность электро-нов. Таким образом, максвелловское время релаксации ф обратно пропорционально n0. Радиус экранирования R, как мы видели, обратно пропорционален v n0 (см. (4)). Поэтому при малых концентрациях электро-нов коэффициент Г прямо пропорционален n0, а при больших - обратно пропорционален n0. Существует, таким образом, при любой частоте (о некоторая промежуточная концентрация nw, при которой коэффициент Г максимален.

Оценим коэффициент поглощения Г для какого-ни-будь типичного случая. Рассмотрим, например, попереч-ный звук в CdS, скорость которого щ0 = 1,8 х 105 см/с. Пусть n0 = 5 х 1012 см-3, щ = 3 х 108 с-1, м = 300 см2/Вс, ч = 0,036, е = 9,4, Т=300 К. Тогда ф = 3,5 х 10-9 с, R= 1,6 х 10-4 см, q= 1,7 х 103 см-1, и мы получаем, что коэффи-циент Г составляет около 30 см-1. Это означает, что на расстоянии в 1/30 ~ 0,03 см интенсивность звука зату-хает в с раз, т. е. теория предсказывает сильное затуха-ние уже при таких малых концентрации и частоте.

А теперь мы переходим, пожалуй, к самому инте-ресному вопросу -- анализу влияния электрического поля на поглощение звука. Представим себе, что к пьезоэлектрическому полупроводнику, в котором рас-пространяется звуковая волна, приложено постоянное электрическое поле Е.

Под влиянием постоянного поля Е возмущения элек-тронной концентрации, созданные звуковой волной, движутся со скоростью дрейфа электронов:

V = мE

Чтобы в этом случае найти изменение электронной концентрации под влиянием переменного поля звуко-вой волны, удобно перейти к движущейся системе ко-ординат, скорость которой по отношению к кристалли-ческой решетке равна V. В этой системе можно пользо-ваться выражениями для распределения электронной концентрации, полученными в отсутствие постоянного электрического поля. Нужно только учесть, что в силу эффекта Доплера частота звука в движущейся систе-ме координат изменяется и оказывается равной щ -- qV, где q -- волновой вектор звука. В итоге в выражении (5) для отношения Г/q следует произвести замену щ > щ - qV. Это дает:

Г/q = чщ(щ - qV)ф/щ0((1 + q2R2) + (щ - qV2)ф2)

В простейшем случае, когда направление распрост-ранения звука параллельно дрейфовой скорости, коэф-фициент поглощения обращается в нуль при V = щ, т. е. когда дрейфовая скорость электронов становится рав-на скорости звука. При V > щ коэффициент поглощения меняет знак. При Г<0 плотность потока звуковой энер-гии изменяется по закону:

S(x)=S(0)exp (-Гх) = S(0) ехр (¦Г¦х).

т. е. поглощение звука сменяется его усилением.

Зависимость коэффициента поглощения от постоян-ного электрического поля (точнее, от дрейфовой ско-рости электронов) приведена на рис. 4. Видно, что кри-вая зависимости Г(V) антисимметрична относительно линии V = щ. Отметим еще одно важное обстоятельст-во: если при распространении в прямом направлении (направлении дрейфа) звук усиливается, то при рас-пространении в обратном направлении он обязательно затухает. Однако коэффициент поглощения при этом может быть меньше коэффициента усиления при пря-мом прохождении.

При неизменной дрейфовой скорости V коэффици-ент усиления как функция частоты достигает макси-мума при щ = щm как и в случае поглощения звука. Аб-солютный максимум коэффициента усиления по отно-шению к изменению и частоты и дрейфовой скорости при заданной концентрации равен опять-таки Гmo -- максимальному значению коэффициента поглощения.

В чем физическая основа усиления звука? Для то-го чтобы ответить на этот вопрос, посмотрим на погло-щение звука с несколько иной точки зрения. Можно сказать, что поглощение звука определяется фазовым сдвигом между деформацией решетки ди/дх и пьезо-электрическим полем Е. В пьезодиэлектрике фазовый сдвиг отсутствует, и пьезоэлектрический эффект не при-водит к поглощению звука - он лишь изменяет эффек-тивную жесткость решетки (скорость звука). В пьезополупроводнике пьезоэлектрическое поле отстает по фазе от деформации решетки. Соответствующий сдвиг фаз пропорционален ют; этой же величине пропорцио-нален коэффициент поглощения. При включении элек-трического поля возмущения концентрации электронов, созданные звуковой волной, дрейфуют со скоростью V. Это приводит к уменьшению сдвига фаз и, следователь-но, к уменьшению поглощения. В более сильных элек-трических полях пьезоэлектрическое поле опережает по фазе деформацию решетки. При этом происходит пе-редача энергии электрического поля звуковой волне -- ее интенсивность нарастает. Именно эти процессы мате-матически описываются формулой (6).

До сих пор мы в наших рассуждениях не учитыва-ли поглощения звука кристаллической решеткой. Что-бы его учесть, нужно к выражению для коэффициента электронного поглощения звука добавить коэффициент решеточного поглощения. В результате значение коэф-фициента поглощения оказывается больше, а коэф-фициента усиления -- меньше, .чем в отсутствие реше-точных эффектов. Полный коэффициент усиления об-ращается в нуль не при каком-нибудь одном, а при двух значениях дрейфовой скорости -- Vl и Vll на рис. 4.

Оценим коэффициент усиления в каком-нибудь ти-пичном случае. Обратимся с этой целью к примеру, рассмотренному на стр. 16. При (Vщ)/щ)== 0,l мы по-лучаем, что Г~5 см-1. Если увеличить дрейфовую ско-рость и рассмотреть случай {Vщ)/щ = 1, то Г~30 см-1. Это значит, что интенсивность звука возрастает в е раз на расстоянии в 1/30~0,03 см. При дальнейшем возра-стании дрейфовой скорости коэффициент усиления на-чинает убывать.

Приведем в качестве примера экспериментальные зависимости коэффициента поглощения (усиления) от электрическою поля, наблюдавшиеся в кристалле CdS (рис. 5). Как уже говорилось, CdS--фотопроводник. Начало отсчета затухания на рис. 5 соответствует за-туханию в неосвещенном образце. При изменении уров-ня освещенности изменяется проводимость кристалла, а следовательно, и т. Так получены кривые В и С, соответствующие частоте 45 МГц и значениям (от 4,2 и 4,8 соответственно. Кривая А получена на частоте 15 МГц; <от=0,83. Из рисунка видно, что при значении электрического поля ~750 В/см коэффициент поглощения из-меняет знак--поглощение сменяется усилением.

Обратим внимание на то, что теория дает очень большие значения коэффициента усиления. Усиление звука в пьезополупроводниках наблюдалось в целом ряде экспериментальных работ. В некоторых случаях существующая теория удовлетворительно описывала данные опыта. Иногда, однако, усиление, наблюдавшее-ся экспериментально, оказывалось гораздо меньше тео-ретического. Такое расхождение, возможно, связано с решеточным поглощением звука и некоторыми другими явлениями (которые не учтены в этом простейшем ва-рианте теории).

А может быть, дело здесь в следующем. В простей-шей теории, описанной выше, предполагается, что изме-нение концентрации электронов и электрического поля пропорционально деформации решетки в звуковой вол-не (линейная теория). При больших амплитудах зву-ковой волны линейный закон становится непримени-мым -- в таком случае говорят, что имеют место нелинейные эффекты. В процессе усиления звука его ин-тенсивность может возрасти на много порядков, поэто-му такие эффекты могут быть важны. О нелинейных эффектах речь пойдет ниже, и мы увидим, что они могут существенно изменить картину усиления звука.

При приложении к пьезополупроводнику электриче-ского поля изменяется не только поглощение. Изменяя сдвиг фаз между волнами деформации и пьезоэлект-рического поля, внешнее электрическое поле изменяет л скорость звука.

Отметим, что скорость звука зависит не только от величины, но и от направления электрического поля по отношению к направлению распространения звука. Соответственно скорости волн, распространяющихся вдоль и навстречу полю, различны. Это обстоятельство по-лезно иметь в виду; мы вспомним о нем в следующем разделе.

3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ УСИЛЕНИИ ЗВУКА

Теория поглощения и усиления звука, о ко-торой мы рассказали, применима лишь в случае доста-точно малых амплитуд, так как она представляет собой линейную теорию. Основные результаты линейной тео-рии, как мы видели, таковы:

1) если на поверхности кристалла создать периоди-ческое упругое смещение, гармонически меняющееся со временем с частотой (о, то в кристалле будет распространяться звуковая волна, упругое смещение в которой будет изменяться по тому же закону;

2) интенсивность звука убывают (или нарастает в пространстве по экспоненциальному закону;

3) скорость звука есть постоянная величина, не за-висящая от его амплитуды.

В процессе усиления звука его интенсивность может возрасти на много порядков, так что начинают играть роль нелинейные явления. При этом возникает целый ряд новых эффектов. Происходит генерация второй и более высоких гармоник (а в ряде случаев и субгар-моник, частоты которых суть доли частоты м). Интен-сивность звука нарастает не экспоненциально, а по более сложному закону. Иными словами, коэффициент усиления начинает зависеть от интенсивности звука.

Наконец, при распространении интенсивного звука в кристалле возникает заметный звукоэлектрический ток. Звукоэлектрический эффект является простейшим нелинейным эффектом и уже давно исследуется теоре-тически и экспериментально. Мы обсудим этот эффект в специальном разделе.

Нужно сказать, что нелинейные эффекты могут наб-людаться не только при усилении звука. В настоящее время умеют генерировать звук такой интенсивности, .что нелинейные явления могут быть заметны уже в ре-жиме поглощения. При усилении, однако, они проявляются более ярко. Кроме того, учет их при усилении имеет принципиальный характер, так как именно они дол-жны рано или поздно ограничить усиление. Поэтому в данном разделе мы будем обсуждать случай усиления звука.

Если линейная теория усиления звука, которую мы рассматривали выше, сравнительно проста, то нелинейная теория гораздо сложнее. Поэтому здесь мы лишь качественно укажем, какие физические процессы ответ-ственны за нелинейные взаимодействия, и приведем ос-новные результаты нелинейной теории. Следует отме-тить, что нелинейная теория усиления звука еще дале-ка от своего завершения; существует ряд наблюдавших-ся на опыте явлений, которые пока не нашли объясне-ния. С другой стороны, некоторые предсказания нели-нейной теории еще ждут своей экспериментальной про-верки.

Вопрос о нелинейных эффектах является чрезвычай-но важным и с практической точки зрения, поскольку почти во всех акустоэлектронных системах работаю-щих в режиме усиления, эти эффекты проявляются. Кроме того, изучение нелинейного взаимодействия поз-волило узнать много нового о неравновесных процес-сах в полупроводниках. Поэтому в настоящее время ис-следование нелинейных акустических явлений идет широким фронтом.

Какого происхождения нелинейные взаимодейст-вия в пьезоэлектрических полупроводниках?

В диэлектрике единственный источник таких взаи-модействий -- нелинейность упругих свойств, которая проявляется в отклонении от закона Гука. Эта нели-нейность хорошо изучена. Она, например, приводит к возникновению высших гармоник и может вызвать об-разование волн с резкими фронтами. Такие волны по-добны волнам в воздухе, идущим от области взрыва, и называются ударными.

В пьезоэлектрических полупроводниках обычно го-раздо важнее другие нелинейные взаимодействия, свя-занные с электронами проводимости. Таких взаимодей-ствий можно указать несколько. Известно, что если приложить к полупроводнику электрическое поле, то потечет ток, плотность которого этому полю пропорциональна. Так дело обстоит, ес-ли поле не очень велико. Но для сильных полей про-порциональность нарушается. В таких случаях гово-рят, что наблюдаются отклонения от закона Ома. Поле, в котором начинают проявляться эти отклонения, зави-сит от температуры, и при низких температурах роль отклонений от закона Ома особенно важна. Однако при комнатной температуре они обычно несущественны. Нас же будет интересовать именно эта область темпе-ратур, поскольку при комнатных температурах выпол-нено наибольшее число экспериментов. Поэтому меха-низма нелинейности, связанного с отклонениями от за-кона Ома, мы рассматривать не будем.

Существует специфическое нелинейное взаимодействие в полупроводниках с примесными центрами, которые могут захватывать электроны проводимости, играя для них роль своеобразных «ловушек». Оно свя-зано с тем, что в таких полупроводниках отношение концентраций свободных электронов и захваченных в ловушки само зависит от полной электронной концент-рации.

Наконец, возможна так называемая концентраци-онная нелинейность. В ряде интересных случаев глав-ная роль принадлежит именно ей, поэтому о ней имеет смысл рассказать подробнее.

Мы уже говорили, что пьезоэлектрический потенци-ал, создаваемый звуковой волной, вызывает простран-ственное перераспределение электронного заряда, так что локальная электронная концентрация n отличает-ся от средней концентрации n0. Вследствие этого и электропроводность в данной точке у = enм отличается от средней электропроводности у = en0м.. Поскольку n` = n - n0 зависит от амплитуды переменного электри-ческого поля, то возникает нелинейная связь между плотностью переменного тока проводимости j = уE и напряженностью переменного электрического поля Е.

Обсудим качественно, к каким эффектам приводит такая нелинейная связь. Предположим сначала, что интенсивность звука, который мы возбуждаем, доста-точно мала (смысл слов «достаточно мала» мы выяс-ним немного позже). Звуковая волна частоты щ распро-страняется от поверхности в глубь кристалла, затухая или усиливаясь, в зависимости от величины приложен-ного постоянного электрического поля. Переменное пьезоэлектрическое поле, сопровождающее волну, вы-зывает пространственное перераспределение электро-нов. Таким образом, в выражении для плотности тока появляются нелинейные члены. Они содержат вторую и нулевую гармоники. Последняя, т. е. постоянное сла-гаемое, представляет собой не что иное, как уже зна-комый нам звукоэлектрический ток.

Что же касается второй гармоники в токе, то она порождает вторую гармонику в электронной концент-рации и, следовательно, в электрическом поле. Послед-нее же благодаря электромеханической связи играет роль вынужденной силы, которая создает вторую гармонику в упругом смещении.

Каково отношение амплитуд второй и основной гар-моник? Эго отношение можно считать мерой нелинейности. Его легко оценить для случаев, когда картина распределения электронов в поле волны мало отли-чается от статической. Тогда относительное изменение концентрации в поле волны (n - n0)/n0 должно быть по-рядка eц/kT. Ведь именно таково отношение глубины «потенциальных ям», созданных звуковой волной, к характерной энергии электрона. Соответственно вынуж-дающая сила будет ~ чeц/kT по сравнению с силой, имеющей частоту основной гармоники. Однако важна не только величина силы, но и то, насколько она .попадает «в резонанс» с собственными волнами систе-мы. А именно амплитуда гармоники определяется отно-шением амплитуды вынуждающей силы чeц/kT к раз-ности 1/ щ - 1/ щ2, которая тоже порядка ч (щ2 - скорость свободной звуковой волны с частотой 2щ). Аналогичная ситуация возникает при раскачке маятника внешней си-лой--амплитуда колебаний пропорциональна не про-сто амплитуде вынуждающей силы, а отношению силы к расстройке относительно частоты собственных коле-баний. В результате

u2/u ~ eц/kT (8)

Таким образом видно, что безразмерным парамет-ром, определяющим роль нелинейных эффектов, явля-ется отношение eц/kT. Оценка (8) применима, пока

u2/u « 1. При таком условии амплитуда второй гармоники сравнительно мала. Амплитуды высших гармонии еще меньше: амплитуда n-й гармоники пропорциональна (eц/kT)2. Следовательно, форма волны остается почти синусоидальной.

Что же происходит, когда eц = kT? Форма волны в этом случае заметно отличается от синусоидальной, а амплитуды большого числа высших гармоник имеют тот же порядок, что и основная.

Особенно сильно проявляются нелинейные эффекты при eц » kT. В этом случае все электроны расположе-ны на дне потенциальных ям, образованных пространственно-периодическим распределением пьезоэлектрического потенциала (рис. 8).

Электрические свойства пьезополупроводника оказываются в таком состоянии резко анизотропными. Средний ток в направлении распространения звука в широком интервале полей не зависит от поля и равен en0щ (все электроны проводимости увлекаются вол-ной). В то же время проводимость полупроводника в поперечном направлении почти не изменяется в при-сутствии звука.

Рассмотрим теперь основной вопрос, ради которо-го мы начали обсуждать нелинейные эффекты,-- как будет вести себя коэффициент усиления в случае больших звуковых амплитуд.

Согласно линейной теории усиления звука, его ам-плитуда, как уже говорилось, возрастает беспредельно. Ясно, что реально усиление беспредельным быть не мо-жет, так как в конце концов око бы вызвало разруше-ние кристалла. В действительности, однако, этого обыч-но не происходит - начиная с некоторого значения амплитуды коэффициент усиления начинает убывать и обращается в нуль. При этом в кристалле образуется так .называемая стационарная волна -- периодическая волна несинусоидальной формы, которая распространяется, не усиливаясь и не затухая. . Как правило, одних только электронных эффектов для образования стационарных волн недостаточно. Эти (волны могут возникнуть лишь в результате совместно-то действия решеточного поглощения и электронного усиления. Если при определении значений дрейфового ноля звук малой амплитуды усиливается, значит элект-ронный коэффициент усиления превышает коэффици-ент решеточного поглощения. Но эти два коэффициен-та по-разному зависят от амплитуды: в большинстве представляющих интерес случаев электронное усиление убывает, а решеточное поглощение возрастает.

На первый взгляд может показаться, что поскольку мы не учитываем нелинейные упругие свойства кристал-ла, в теории не должна возникать нелинейность реше-точного поглощения. Однако это не так. Решеточное поглощение связано со взаимодействием звуковой вол-ны с тепловыми колебаниями решетки. Его можно описать, вводя в уравнения теории упругости эффективную силу, действующую на решетку. Структура этой силы аналогична структуре силы вязкого трения в жидко-сти -- она пропорциональна третьей производной сме-щения по координате. В связи с этим основной вклад в решеточное поглощение дают области резкой зави-симости смещения от координаты -- области вблизи дна потенциальных ям, где электроны сильно взаимо-действуют со звуком. С ростом амплитуды звука раз-мер этих областей, как мы уже видели (см. рис. 8), уменьшается -- излом становится более резким. Сле-довательно, решеточное поглощение возрастает. При некоторой амплитуде электронное усиление сравнива-ется с решеточным поглощением -- это и есть амплиту-да стационарной волны.

Исследование образования стационарных волн и зависимости их амплитуды от электрического поля и других параметров позволяют ответить на важный вопрос» .какое максимальное усиление звука можно получить описанным путем?.

4. УСИЛЕНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ ШУМОВ И СВЯЗАННЫЕ С ЭТИМ ЯВЛЕНИЯ

Уже в первых опытах по усилению звуковых сигналов наблюдалось также усиление звуковых шу-мов, т. е. тепловых звуковых флуктуаций, всегда суще-ствующих в кристалле.: В ходе эксперимента было видно, как их интенсивность нарастает и в конце концов 'начинает препятствовать усилению полезного сигна-ла. Таким образом, вначале шумы возникли как пара-зитный эффект, с которым надо было бороться. Впо-следствии, однако, оказалось, что их изучение представ-ляет самостоятельный физический интерес, и нема-лый. А сейчас, пожалуй, этому вопросу посвящено боль-шее число работ, чем любой другой проблеме, связан-ной с усилением звука в полупроводниках.

Проблема усиления шумов в пьезополупроводниках очень сложна и к настоящему времени полностью не решена. Поэтому здесь мы обсудим лишь главные особенности усиления шума и основные возникающие вопросы.

Как происходит усиление шума? Мы видели, что вследствие анизотропии пьезоэлектрического взаимо-действия и скорости звука коэффициент усиления зву-ка зависит от направления его распространения. Обыч-но (хотя и не всегда) опыт ставят так, что усиление максимально, когда звук распространяется в направле-нии дрейфа электронов (звук, распространяющийся под углом, усиливается меньше). Только такую геометрию мы здесь и будем обсуждать.

Мы видели, что коэффициент усиления звука имеет максимум на частоте щ0, которая пропорциональна v n0

Интенсивность шумов растет по мере удаления от края кристалла. Быстрее всего нарастает интенсивность тех звуковых волн, которые распространяются вдоль направления дрейфа и имеют частоту о),„. Поэтому по мере удаления от края кристалла и угловое и частот-ное распределения интенсивности шумов обостряются. .Спектр акустических шумов в разных точках кристалла схематически изображен на рис. 12.

Таким образом, шумы усиливаются в очень узком угловом и частотном интервале. Однако в этом интерва-ле общее усиление чрезвычайно велико. Так в одном из опытов оно на длине кристалла составляло 108.

В процессе усиления интенсивность шумов возрас-тает настолько, что их уже нельзя считать независимы. ми. Возникает состояние, до некоторой степени напо-минающее гидродинамическую турбулентность, В этом состоянии движение имеет беспорядочный, хаотический характер, и большую роль играет взаимодействие от-дельных шумовых компонент.

Что же происходит в таком состоянии? По какому закону растет интенсивность шумов в пространстве. Да и растет ли она? Каков спектральный состав шу'. мо.в? Есть ли максимум вблизи одной частоты, а если есть, то вблизи какой? И как формируется это состоя-ние, какие взаимодействия играют в нем главную роль?

На большинство этих вопросов сейчас не существует однозначного ответа. Но кое-что все-таки уже известно, и мы об этом сейчас расскажем.

Оказалось, что определяющую роль в формировании акустического турбулентного состояния, как пра-вило, играют коллективные движения электронов полу. проводника. Что же это такое? Хорошо известен один тип таких коллективных движений -- плазменные коле-бания. Это колебания электронной плотности, период которых намного меньше времени свободного пробега электронов проводимости. Между тем со звуковыми шумами могут взаимодействовать только медленные дви-жения с характерным временем, сравнимым с период дом звука (т. е. значительно превышающим время сво-бодного пробега электронов проводимости). Какие это движения?

Представим себе, что в некоторой области полупроводника возник сгусток электронов (электронная кон-центрация немного превышает среднюю). Этот сгусток будет рассасываться как из-за диффузии электронов так и из-за расталкивания кулоновскими силами. Таким образом, это не колебательное, а периодическое, чисто релаксационное движение. И в полупроводнике возможны процессы, при которых сливаются две аку-стические волны л возникает не третья волна, а такое быстрозатухающее движение.

Важно, что процессы с участием движений элект-ронной плотности происходят, вообще говоря, чаще других возможных процессов, т. е. именно они преоб-ладают в условиях акустической турбулентности. В ре-зультате таких процессов образуется своеобразный «фон» движений электронной концентрации, рождающихся при слиянии усиленных шумовых компонент и ^быстро затухающих. Эти движения изменяют макроскопические (средние) свойства среды и, в частности, коэффициент усиления шумов -- возникает добавка к ко-эффициенту усиления, пропорциональная интенсив-ности шума. В результате усиление шума становится нелинейным.

Характеристики турбулентного состояния опреде-ляются, естественно, свойствами нелинейного коэффици-ента усиления. Расчеты показывают, что нелинейный .коэффициент усиления имеет максимум на более низ-кой частоте, чем линейный. В результате спектр шумов в процессе усиления смещается в область более низких частот -- взаимодействие шумов через посредство дви-жений электронной концентрации приводит к «пере-качке» энергии в эту область. Такая перекачка неодно-кратно наблюдалась на опыте.

Возникает очень интересный вопрос: а возможна ли ситуация, в которой спектр шумов сужается в процессе усиления? Нельзя ли таким образом получить из уси-ленного шума когерентный акустический сигнал?

Согласно теории такой режим усиления в прин-ципе возможен, однако при таких условиях, которые на опыте реализовать совсем не просто. Может быть, по этой причине он до сих пор не наблюдался.

Расскажем еще об одном своеобразном проявле-нии турбулентного состояния. В этом состоянии неред-ко наблюдаются так называемые акустоэлектрические домены. Это -- сгустки акустических шумов (ограни-ченные в пространстве волновые пакеты), периодически пробегающие по кристаллу. Поскольку такие домены «захватывают» электроны проводимости, при этом наб-людаются осцилляции тока в цепи, в которую включен

образец. Таким образом, полупроводник работает как' генератор периодических электрических импульсов.

В целом задача об усилении шумов далеко не про-ста. К настоящему времени удалось построить лишь теорию так называемой слабой турбулентности, когда интенсивность выросших шумов еще достаточно мала. Уже эта теория имеет весьма сложный вид.

С другой стороны, достигнуты серьезные успехи в экспериментальном изучении акустической турбулент-ности в полупроводниках. В последние годы появилась экспериментальная техника, очень удобная для иссле-дования поведения шумов. Это -- изучение рассеяния света на усиленных акустических шумах. С помощью этой техники удается изучать распределение волн как по направлениям распространения, так и по частотам в любой точке кристалла. Таким образом, можно полу-чить весьма детальные сведения о нарастании акусти-ческих шумов. В связи с этим и в нашей стране и за рубежом сейчас ведется очень много работ по изуче-нию поведения звуковых шумов в полупроводниках.

.Состояние, о котором мы сейчас рассказали, является во многих отношениях уникальным, а с теоретиче-ской точки зрения -- далеко не полностью понятым. Поэтому нам кажется, что дальнейшее его изучение может оказаться исключительно благодарным делом, потому что именно здесь в будущем можно ожидать наиболее интересные находки и открытия.

5. ЗВУКОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ

До сих пор мы говорили о поглощении и усилении звука электронами проводимости. Есть, одна-ко, интересный эффект, о котором уже вкратце упоми-налось, связанный с обратным влиянием звуковой вол-ны на электроны, - звукоэлектрический эффект.

Бегущая звуковая волна увлекает за собой электро-ны проводимости, в результате чего, если замкнуть об-разец проводником, в' цепи потечет звукоэлектрический ток. Если же образец разомкнут, то на его концах воз-никнет разность потенциалов, а внутри его -- звукоэлектрическое поле Езв. Оценить его можно из следующих соображений.

В процессе поглощения звука электронам, заклю-ченным в единице объема, в единицу времени передается энергия ГS. Импульс, передаваемый при этом электронам, есть ГS/щ. С другой стороны, эта величина должна быть равна силе, действующей на эти элек-троны со стороны звукоэлектрнческого поля - en0 Езв. В итоге получается следующая оценка:

Езв = ГS/en0щ (9)

Соответственно звукоэлектрический ток равен:

jзв = у Езв = мГS/щ (10)

Это соотношение легко понять качественно -- чем больше поглощение звука, тем больший импульс пере-дается от звука электронам н тем больше электронный ток.

Звукоэлектрический эффект в пьезополупроводниках имеет очень большую величину -- при интенсивности звука 0,1 Вт/см2 звукоэлектрическое поле может достигать 15--20 В/см. Поэтому звукоэлектрический эф-фект может быть использован как весьма чувствитель-ный индикатор наличия звуковых волн в кристалле и измеритель их интенсивности.

Соотношения (9) и (10) остаются справедливыми и во внешнем электрическом поле, когда в полупровод-нике наряду со звукоэлектрическим током течет та«же ток проводимости. Поэтому при пороговом значении электрического поля, когда поглощение звука сменяет-ся его усилением, изменяет знак и звукоэлектрическое поле. Такую перемену знака легко понять физически: когда дрейфовая скорость электронов превышает ско-рость звука, звуковая волна уже не увлекает систему электронов, а тормозит ее как целое. Изменение знака звукоэлектрического эффекта 'неоднократно наблюда-лось на опыте.

А что произойдет, если направление, в котором рас-пространяется звук в кристалле, изменить на противо-положное? На первый взгляд кажется, что при этом (в отсутствие внешнего электрического поля) изменится лишь знак звукоэлектрического поля Езв. Тут можно рассуждать так: одновременно с изменением направ-ления распространения звука повернем мысленно и сам кристалл на 180°. Повернутый кристалл совпадает с исходным, и по существу ничего не изменилось. Это )рассуждение действительно подходит для полупроводника, кристаллическая решетка которого имеет центр симметрии. Мы же видели, что кристаллические решет-ки пьезополупроводников не имеют центра симметрией.

Поэтому в них при изменении направления распространения звука на противоположное может изменяться не только знак, но и величина Езв. Иными словами, звукоэлектрический эффект содержит четную и нечетную .части: первая не изменяется при изменении направления распространения звука, а вторая изменяет свой знак. Четный звукоэлектрический эффект также наблю-дался на опыте.

Звукоэлектрический эффект проявляется как при распространении звуковых сигналов, так и при усиле-нии шумов. Он играет важную роль в формировании акустоэлектрических доменов, о которых говорилось выше.

Исследования звукоэлектрического эффекта ве-дутся весьма активно, так как с их помощью можно непосредственно изучать электронные свойства полу-проводников.

Заключение

Мы рассмотрели ряд явлений, сопровождающих распространение ультразвука в полупроводниках

и металлах. Начав с простых эффектов, мы подошли к сложным проблемам, находящимся на переднем крае современной физики твердого тела. В силу ограничен-ности объема книги мы не смогли коснуться целого ря-да интересных вопросов. Так, мы не рассматривали не-линейных акустических явлений в металлах в магнит-ном поле, опустили очень интересный вопрос об особен-ностях распространения звука в сверхпроводниках. Не обсуждался также случай очень высокочастотного и ин-тенсивного звука, приводящего к квантованию движе-ния электронов в поле деформаций звуковой волны. Все эти вопросы в настоящее время изучаются, и в ближайшие годы мы надеемся узнать много нового об акустических свойствах твердых тел.

Можно надеяться, что эта область физики твердо-го тела будет интенсивно развиваться еще в течение целого ряда лет. А это значит, что, кроме перечислен-ных, здесь должны возникнуть и новые проблемы, по-явление которых пока предугадать нельзя, но постанов-ка и решение которых составят основное содержание этой области в ближайшем будущем.