Введение. В работе [1] экспериментально исследовалась зависимость электропроводности магнитной жидкости с графитовым наполнителем от направления магнитного поля. Было установлено, что при направлении магнитного поля, совпадающем с направлением электрического поля, электрическая проводимость магнитной жидкости увеличивается. Если же магнитное поле перпендикулярно электрическому полю, то электрическая проводимость уменьшается. Это объясняется тем, что частички графита можно рассматривать как «магнитные дырки», которые в магнитном поле ориентируются вдоль силовых линий магнитного поля. Возникающая анизотропия магнитной жидкости с графитовым наполнителем является причиной зависимости электрической проводимости от направления магнитного поля.

В работе [2] была предложена теория, объясняющая наблюдаемую зависимость электрической проводимости от направления магнитного поля. Суть теории [2] заключается в следующем. Предполагается, что в магнитной жидкости всегда имеются примесные ионы, которые в результате адсорбции с частицами магнетита заряжают их. Поэтому электрический ток обусловлен движением заряженных частиц магнетита. Частицы же графита, помещенные в магнитную жидкость, оказывают сопротивление движению частиц магнетита. Если представить частицы графита в виде вытянутых эллипсоидов, то в результате ориентации в магнитном поле, частота столкновений частиц магнетита с частицами графита будет зависеть от направления магнитного поля. Это приводит к зависимости сопротивления (соответственно, проводимости) магнитной жидкости от направления магнитного поля.

Полученные в работе [2] зависимости электрической проводимости от направления магнитного поля давали несколько завышенные результаты по сравнению с экспериментом [1]. Поэтому сделан вывод, что предлагаемый в работе [2] механизм не полностью объясняет наблюдаемую в эксперименте зависимость. В работе [3] был предложен новый механизм, объясняющий зависимость проводимости магнитной жидкости с графитовым наполнителем от направления магнитного поля. Суть нового механизма заключалась в следующем. Так как частицы магнетита являются проводящими, то в электрическом поле на них должен индуцироваться заряд противоположного знака. А это приведет к тому, что заряженные частицы магнетита будут притягиваться к частицам графита, компенсируя образовавшийся заряд. Таким образом, число частиц магнетита, обусловливающих электрический ток, уменьшается. Но степень этого уменьшения будет зависеть от ориентации частиц графита. Если частицы графита в целом электронейтральны, то электрическое поле около незаряженной частицы графита будет иметь симметричный вид, изображенный на рис. 1.

Рис. 1. Искажение электрического поля около незаряженной частицы графита.

Симметричное распределение силовых линий электрического поля есть следствие теоремы Гаусса (заряд равен нулю, поэтому число силовых линий подходящих к частице равно числу силовых линий исходящих из частицы).

Но если частицы магнетита заряжены, то они будут стремиться присоединиться к противоположно заряженным сторонам частицы графиты. В результате этого частица графита заряжается. Поэтому согласно теореме Гаусса, электрическое поле около заряженной частицы графита принимает несимметричный вид, изображенный на рисунке 2.

Рис. 2. Искажение электрического поля около заряженной частицы графита.

Если предположить, что частицы графита могут принимать заряды разных знаков, то картина, изображенная на рисунке 2 не будет иметь места. Действительно, если представить магнитную жидкость в целом электронейтральной, то в ней объемный заряд равен нулю. То есть число положительно заряженных и отрицательно заряженных частиц магнетита одинаково. И будет иметь место картина, изображенная на рис. 1. Поэтому картина на рисунке 2 может возникнуть только лишь при униполярном заряжении частиц графита, то есть при наличии объемного заряда того или иного знака. Далее для определенности будем говорить об объемном заряде положительного знака.

Частицы графита, помещенные в магнитную жидкость, представляют собой «магнитные дырки», обладающие магнитным моментом, направленным против внешнего поля. При изменении магнитного поля частицы графита будут ориентироваться вдоль поля. Но если представить частицы графита в виде идеальных сфер, то, очевидно, что никакой анизотропии возникнуть не может. Поэтому анизотропию электрических свойств магнитной жидкости с графитовым наполнителем, можно объяснить, только если предположить, что частицы графита имеют эллипсоидальную форму (или произвольную вытянутую форму).

В работе [3] при определении предельного заряда, который образуется на частице графита в результате адсорбции заряженных частиц магнетита, форма частиц графита считалась сферической. Целью настоящей статьи является - развить количественную теорию описанного выше механизма для частиц графита эллипсоидальной формы.

1. Магнитное поле параллельно электрическому полю. Предельный заряд, накапливающийся на частице графита, найдем из теоремы Гаусса [4]:

, (1)

где - поток вектора электрической напряженности; Е - результирующее поле, обусловленное суперпозицией Е1 внешнего поля вблизи частицы графита и отталкивающего поля Е2, обусловленного накапливающими на частице графита зарядами; - площадь поверхности графита (рис. 3). На рис. 3 - напряженность невозмущенного электрического поля.

Рис. 3. К результирующему потоку вектора напряженности электрического поля.

Напряженность электрического поля Е1 вблизи поверхности проводящего эллипсоида, помещенного первоначально в однородное электрическое поле, определяется выражением [5]

, (2)

где - полуоси эллипсоида, причем полуось направлена вдоль оси ; - декартовы координаты поверхности эллипсоида; - коэффициент деполяризации, определяемый для вытянутого эллипсоида вращения () с эксцентриситетом , выражением [5]

, (3)

где - обратный гиперболический тангенс: . Из (3) следует, что

, (4)

то есть для проводящей сферы формула (2) принимает вид

, (5)

где - радиус сферы. Если же сфера является диэлектриком, то в этом случае формула (5) имеет вид [5]

, (6)

где - относительная диэлектрическая проницаемость сферы. При из (6) получается выражение (5) для проводящей сферы. Поэтому предлагаемый ниже механизм электропроводности можно применить и для случая с диэлектрическим наполнителем эллипсоидальной формы.

Накапливающиеся на проводящем эллипсоиде заряды порождают отталкивающее поле, препятствующее приходу новых заряженных частиц магнетита. Отталкивающее поле вблизи эллипсоида задается формулой [5]

, (7)

где - заряд, накапливающийся на поверхности эллипсоида; - число заряженных частиц магнетита, несущих элементарный заряд . Для случая сферы формула (7) принимает вид

. (8)

В результате суперпозиции получим результирующее поле, направленное перпендикулярно поверхности эллипсоида. Результирующее поле равно

. (9)

Причем при

. (10)

Так как в формуле (2) выражение под корнем есть медленно меняющаяся функция, то можно ее приблизительно заменить средним значением:

. (11)

Тогда выражения для и можно приближенно записать в виде

, (12)

. (13)

Тогда для результирующего поля запишем

. (14)

Для нахождения потока вектора напряженности электрического поля по формуле (1), нам необходимо знать выражение для элемента площади поверхности эллипсоида вращения, которое согласно [6] имеет вид

. (15)

С учетом (14) и (15) выражение (1) для потока вектора напряженности получим

. (16)

Интегралы в формуле (16) элементарно интегрируются [7]:

. (17)

.(18)

С учетом формул (17) и (18) выражение для потока вектора напряженности примет вид

. (19)

Упростим выражение (19), принимая во внимание, что .

. (20)

Насыщение частицы графита зарядом произойдет, когда поток вектора напряженности станет равным нулю. То есть заряжение частиц графита будет происходить до тех пор, пока индуцированный заряд не будет скомпенсирован. Из условия найдем предельный заряд частицы графита для случая, когда магнитное поле параллельно электрическому полю:

. (22)

Предельное число заряженных частиц магнетита с элементарным зарядом e, отдающих заряд частице графита, в электрическом поле с напряженностью равно: .

2. Магнитное поле перпендикулярно электрическому полю. Рассмотрим, что произойдет, если частица графита под действием магнитного поля будет ориентирована перпендикулярно электрическому полю. Как было отмечено выше, если частица графита представляет собой сферу, то никаких изменений не произойдет. Если частица графита представляет собой вытянутый эллипсоид, то она большей полуосью, а значит, большей площадью поперечного сечения, будет расположена перпендикулярно току.

Пусть в результате такой ориентации полуось эллипсоида параллельна оси . В этом случае напряженность электрического поля Е1 вблизи поверхности проводящего эллипсоида определяется выражением (2), в котором необходимо заменить на

, (23)

, . (24)

Отталкивающее поле вблизи эллипсоида задастся формулой (7)

. (25)

Результирующее поле запишется в виде

. (26)

Из условия находим :

. (27)

Аналогично, запишем приближенные выражения для и в виде

, (28)

. (29)

Для результирующего поля запишем

. (30)

Выражение для элемента площади поверхности эллипсоида вращения в этом случае имеет вид

. (31)

Поток вектора напряженности электрического поля в этом случае определится формулой

. (32)

Из условия найдем предельный заряд частицы графита для случая, когда магнитное поле перпендикулярно электрическому полю:

. (33)

Введем следующие обозначения

, , (34)

которые назовем коэффициентами формы, соответственно, для эллипсоида, расположенного параллельно току, и перпендикулярно току. Тогда выражения для предельных зарядов, соответственно, запишутся в виде

, (35)

. (36)

Расчеты по формулам (35) и (36) показывают, что . Таким образом, частица графита ориентированная перпендикулярно электрическому полю заряжается больше, чем в случае, когда она ориентирована параллельно электрическому полю. Это приводит к уменьшению основного тока.

3. Удельная проводимость магнитной жидкости с графитовым наполнителем. Если бы описанный выше механизм не имел бы место, то невозмущенный ток можно записать, согласно определению [4], в виде

, (37)

где - плотность невозмущенного тока; - площадь обкладок ячейки [1]. Плотность тока записывается в виде [4]

, (38)

где - концентрация заряженных частиц магнетита в невозмущенном потоке; - удельная проводимость магнитной жидкости при отсутствии частиц графита; - скорость упорядоченного движения заряженных частиц магнетита. Отсюда удельную проводимость записывают в виде [4]

, , (39)

где - подвижность заряженных частиц магнетита; - объемный заряд невозмущенного потока.

Концентрацию частиц графита обозначим . В выражении для плотности тока необходимо учесть, что часть объемного заряда оседает на частицах графита и не участвует в токе. Поэтому для плотности тока, когда магнитное поле направлено параллельно электрическому полю, можно записать

. (40)

Отсюда для удельной проводимости получим

. (41)

Аналогично, получим выражение для удельной проводимости, когда магнитное поле направлено перпендикулярно току:

. (42)

Из (41) и (42) следует

. (43)

Учитывая, что , то (43) можно приближенно записать в виде

. (44)

Из (44) видно, что когда магнитное поле параллельно току, то удельная проводимость больше, чем когда магнитное поле перпендикулярно току. Аналогично, из (41) и (42) запишем выражения для удельных сопротивлений

, , (45)

где и - удельные сопротивления магнитной жидкости с графитовым наполнителем в магнитном поле, соответственно, параллельном электрическому полю и перпендикулярному электрическому полю; - удельное сопротивление магнитной жидкости в отсутствии частиц графита. В эксперименте [1] измерялось сопротивление ячейки. Соответственно, для сопротивлений запишем выражения

, , (46)

где - сопротивление магнитной жидкости в отсутствии частиц графита. Отсюда

, (47)

где . Откуда видно, что сопротивление ячейки в магнитном поле, параллельном электрическому полю, меньше, чем в магнитном поле, перпендикулярном электрическому полю.

Сделанный вывод согласуются с данными экспериментальных исследований, результаты которых приведены на рисунке.

Таким образом, из вышеизложенного следует, что проводимость магнитной жидкости с графитовым наполнителем изменяется в зависимости от направления магнитного поля. Проводимость магнитной жидкости с графитовым наполнителем в магнитном поле, параллельном электрическому полю больше, чем в магнитном поле, перпендикулярном электрическому полю: .

4. Расчеты. Из формулы (47) следует, что анизотропия электрических свойств магнитной жидкости с графитовым наполнителем будет существенно зависеть от концентрации частиц графита, что действительно наблюдалось в эксперименте [1]. При малых концентрациях частиц графита эффект не существенен.

Концентрацию частиц графита найдем по формуле [8]

, (48)

где - объемная концентрация частиц графита. В эксперименте [1] объемная концентрация была равна , а радиус частиц графита был порядка мкм. Подставляя численные значения в (48), для полной концентрации частиц графита получим м-3. Примем мкм, мкм. Это соответствует эксцентриситетам и , соответственно, коэффициенты формы и . Примем . Объемный заряд, оседающий на частицах графита, равен Кл/м3. На частицу графита, расположенную перпендикулярно току, оседает на заряженных частиц магнетита больше, чем на частицу, расположенную параллельно току.

Согласно [9], объемный заряд можно оценить по формуле

, (49)

- постоянная Больцмана; - абсолютная температура.

В эксперименте [1] имело место отношение при напряженности электрического поля В/м. Для этого значения напряженности электрического поля объемный заряд, согласно (49), равен Кл/м3, что соответствует концентрации заряженных частиц магнетита м-3. Размер частиц магнетита примем равным нм. Объемная концентрация магнетита в эксперименте была . Тогда для концентрации частиц магнетита получим м-3. Отсюда видно, что не все частицы магнетита заряжены, что согласуется с результатами [9]. Подставляя численные значения в (47), получим теоретическое значение отношения.. Как видно теоретическое значение отношения сопротивлений почти в два раза меньше экспериментально наблюдаемого. Возможная причина расхождения теории с экспериментом может заключаться в полидисперсности частиц графита, применяемых в эксперименте. Расчеты же велись в предположении монодисперсности частиц графита.

Выводы. Предложен механизм, объясняющий анизотропию электрических свойств магнитной жидкости с графитовым наполнителем в магнитном поле. Думается, что имеют место оба механизма: и механизм, предложенный в [2], и в настоящей работе. В дальнейшем предполагается построить общую теорию, опирающуюся на оба предложенных механизма. В заключение выражаем благодарность профессору Ю. И. Диканскому, под научным руководством которого была выполнена настоящая работа.

Список литературы

1. Смерек Ю.Л. Электрическая проводимость магнитной жидкости с мелкодисперсным наполнителем в магнитном поле. //Вестник СГУ. 2001. - Вып. 28. С. 184 - 187.

2. Закинян Р.Г., Смерек Ю.Л., Закинян А.Р. Элементарная теория электропроводности магнитной жидкости с графитовым наполнителем. Записки физико-математического факультета. Выпуск 2.

3. Закинян Р.Г., Смерек Ю.Л., Закинян А.Р. Об одном механизме электропроводности магнитной жидкости с графитовым наполнителем. // Проблемы физико-математических наук. Материалы 48 научно-методической конференции преподавателей и студентов. - Ставрополь, 2003. - С. 29 - 32.

4. Калашников С.Г. Электричество. - М.: Наука, 1985. - 576 с.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Электродинамика сплошных сред. Т. 8. - М.: Наука, 1982. - 624 с.

6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1. - М.: Наука, 1971. - 510 с.

7. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. - М.: Наука, 1981. - 799 с.

8. Фертман В.Е. Магнитные жидкости. - Минск: "Вышейшая школа", 1988. - 184 с.

9. Падалка В.В., Закинян Р.Г., Бондаренко Е.А. К вопросу об образовании объемного заряда в приэлектродном слое разбавленной магнитной жидкости. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2002. - № 4. - С. 36 - 38.