Кинематика и динамика поступательного движения

.

Для расчета моментов инерции тел, имеющих простую геометрическую форму (диск, стержень, квадрат и т.д.), обычно пользуются готовыми формулами (Приложение 3).

В случаях, когда расчет моментов инерции тел затруднен, применяют различные способы их измерения. Ряд таких способов рассмотрен в данном практикуме. В настоящей работе предлагается энергетический подход к определению момента инерции.

Маховое колесо (рис. 10) состоит из маховика А, жестко закрепленного на горизонтальном валу В. На вал наматывается шнур, к концу которого прикреплен груз массой m, под действием силы тяжести которого вал может раскручиваться. При вращении любого тела возникают моменты сил, препятствующих его вращению. Эти моменты создаются, в основном, силами трения в опорах и, частично, силой сопротивления воздуха. Последний в данной работе не учитывается из-за его малости. Величина момента силы трения Мтр в опорах может быть установлена, например, из условия равновесия М - Мтр =0, а также по потере энергии вращающегося тела, как это сделано в данной работе. При падении с высоты h1 потенциальная энергия груза mgh1 идет на увеличение кинетической энергии поступательного

движения самого груза mv2/2, на увеличение кинетической энергии вращательного движения маховика и вала прибора J2/2 и на совершение работы А = Мтр по преодолению трения в опорах. По закону сохранения энергии

, (4.1)

где 1 - угловое перемещение вала в опоре, соответствующее перемещению h1 груза.

Движение груза равноускоренное, без начальной скорости, поэтому

, (4.2)

где t - время опускания груза с высоты h1. Угловая скорость махового колеса

, (4.3)

где r - радиус вала В. Момент силы трения Мтр устанавливается следующим образом. Колесо, вращаясь по инерции, поднимает груз на высоту h2<h1, на которой потенциальная энергия будет равна mgh2. Изменение потенциальной энергии при движении груза равно работе по преодолению момента силы трения в опорах, т.е.

. (4.4)

Откуда

. (4.5)

Выражая угловой путь (1 + 2) через линейный (h1 + h2) и радиус вала r, получаем

. (4.6)

Это выражение является рабочей формулой для измерения Мтр. Подставляя в формулу (4.1) значения v, , Мтр из (4.2), (4.3), (4.6), получаем рабочую формулу для определения момента инерции махового колеса

. (4.7)

При подготовке к измерению махового колеса шнур наматывается на вал виток к витку. К концу шнура прикреплена платформа известной массы, на которую накладываются грузы из набора к установке. Для измерения высоты падения груза h1 и высоты его поднятия h2 рядом с установкой укреплена масштабная линейка. Время падения груза измеряется с помощью ручного или стационарного электронного секундомера.

Проведение эксперимента

Задание 1. Измерение момента инерции махового колеса и момента силы трения

Измерения

2. Высоту падения груза h1 во всех опытах можно брать одной и той же. Поэтому ее можно предварительно измерить как расстояние между заранее выбранным верхним

положением груза и его положением при полном разматывании шнура.

3. Наматывают шнур на вал, поднимая груз до выбранной отметки. На платформу кладут один груз из набора. Измеряют время падения груза до полного разматывания шнура.

4. Измеряют высоту h2, на которую поднимается груз после разматывания шнура.

5. Опыт с одним грузом повторяют не менее трех раз. Затем выполняют измерения с двумя и тремя грузами. Все данные заносят в таблицу 4.1 отчета.

Обработка результатов

1. По формулам (4.6) и (4.7) для каждого значения массы вычисляют момент силы трения в опорах и момент инерции махового колеса, подставляя средние значения времени t и высоты h2 .

2. Находят среднее значение момента инерции махового колеса. Не имеет смысла находить среднее значение момента силы трения, так как при разных нагрузках на вал он должен иметь разные значения.

3. Погрешности измерения момента инерции предлагается оценить для опыта с одним из грузов. Полученное значение относительной погрешности момента инерции можно применить к среднему значению момента инерции. Величины систематических погрешностей измерений высот h1 и h2 следует брать, исходя из реальных условий их измерения. Погрешности измерений масс платформы и грузов равны 0,5г.

4. Анализируют вклад погрешностей измерений всех величин в общую погрешность и указывают, какая из величин должна быть измерена с наибольшей точностью.

Задание 2. Вычисление момента инерции махового колеса

Необходимо рассчитать момент инерции махового колеса, исходя из его конструкции и геометрических размеров. Плотность железа принять равной 7,8 г/см3. Погрешность этого расчета можно не определять. Рассчитанное значение момента инерции сравнивают с измеренным.

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА ПРИ УДАРЕ

Цель работы

Ознакомиться с явлением удара на примере соударения подвешенных на нитях шаров.

Идея эксперимента

Исследование упругого и неупругого удара шаров позволяет экспериментально проверить законы сохранения импульса и энергии, на базе которых выведены рабочие формулы, а также установить некоторые закономерности ударов. Проводится сопоставление теоретических выводов и экспериментально полученных результатов.

Теория

Удар - совокупность явлений, возникающих при кратковременном приложении к телу внешних сил, связанных со значительным изменении его скорости за очень краткий промежуток времени. Удар обычно протекает в течение тысячных или даже миллионных долей секунды. Удар называется центральным и прямым, если при ударе центры тяжести тел лежат на линии удара, а их относительная скорость параллельна линии удара. В зависимости от упругих свойств тел, характер удара может изменяться от абсолютно упругого до абсолютно неупругого. Рассеивание энергии при ударе, т.е. переход механической энергии в другие виды, характеризуется коэффициентом восстановления скорости kск или коэффициентом восстановления энергии kэ.

Коэффициент восстановления скорости определяется как отношение модуля относительной скорости тел после удара к модулю относительной скорости тел до удара

, (5.1)

где v1, v2 - скорости тел до удара, u1, u2 - скорости тел после удара.

Коэффициент восстановления энергии определяется как отношение суммарной кинетической энергии тел после удара к суммарной кинетической энергии тел до удара

. (5.2)

Нетрудно убедиться, что для абсолютно упругого удара kэ=1 и kск=1, а для абсолютно неупругого удара kск=0. В реальных ударах 0<kэ<1 и 0<kск<1. Величина коэффициентов восстановления зависит от физических свойств материалов соударяющихся тел, от их формы, а для неупругого удара также в сильной степени зависит от масс соударяющихся тел.

Обозначим массы шаров m1 и m2, скорости шаров до удара и , скорости шаров после удара и соответственно. К абсолютно упругому соударению шаров применим как закон сохранения импульса, так и закон сохранения механической энергии

. (5.3)

Решение этой системы уравнений позволяет найти скорости шаров после удара

и , (5.4)

или, разделив числитель и знаменатель этих выражений на m1:

и , (5.5)

где = m2/m1 - отношение масс шаров.

Величина всегда положительна, поэтому второй шар после удара всегда движется в ту же сторону, куда двигался первый шар до удара. Первый же шар после удара может продолжать движение в ту же сторону, что и до удара, если его масса больше массы второго шара (<1), или же отскакивать, если его масса меньше массы второго шара (>1). В случае равенства масс шаров (=1), первый шар после удара останавливается, а второй шар, неподвижный до удара, начинает двигаться со скоростью первого шара (обмен скоростей).

Отношение кинетической энергии , переданной во время удара первоначально покоящемуся шару, к кинетической энергии ударяющего шара определяется соотношением

. (5.6)

Величину f можно условно назвать эффективностью упругого удара. Она дает долю энергии первого шара, которую получил второй шар после удара. Между величинами f и существует взаимно однозначное соответствие, в то время как одному и тому же могут соответствовать множество значений энергии в зависимости от начальных значений скорости . Нужно отметить, что ход f() не зависит от начальной скорости или m1 и m2, а только от отношения m2/m1. Исследование функции (5.6) показывает, что второй шар получает от первого наибольшую энергию в том случае, когда массы шаров равны, т. е. при =1. При этом f=1 и , вся энергия достается второму шару, а первый после удара останавливается.

Как уже указывалось, в реальном ударе часть кинетической энергии шаров переходит во внутреннюю энергию, и в предлагаемом случае, когда , . Поэтому зависимость (5.6) выполняется только с определенной степенью точности.

Неупругий удар шаров

В сущности, любой реальный удар является неупругим. Рассмотрим такой неупругий удар, после которого шары «слипаются» и движутся с одинаковой скоростью . Применяя к этому удару закон сохранения импульса, можно получить выражение для общей скорости шаров после удара

или , (5.7)

где - по-прежнему отношение масс шаров.

Коэффициент восстановления энергии при неупругом ударе равен

. (5.8)

Он оказывается зависимым от отношения масс шаров.

Интересно также вычислить величину, которая показывает, какая часть кинетической энергии соударяющихся шаров преобразуется во внутреннюю энергию. Эту величину можно назвать эффективностью неупругого удара

, (5.9)

где и - суммарные энергии системы до и после удара.

Очевидно, что q, рассматриваемая как функция от , есть неизменная теоретическая функция. В то же время, эта функция, будучи просчитана по результатам измерений энергий и , является экспериментальной и может отличаться от первой.

Экспериментальная установка

Для экспериментального изучения центрального удара шаров используется установка, представленная на рис. 11. Она представляет собой систему двух шаров - левого (Л) и правого (П), подвешенных к штангам 1 на бифилярных (двойных) подвесах. Бифилярные подвесы обеспечивают движение шаров в одной вертикальной плоскости и предотвращают их вращение вокруг вертикальной оси. Длина подвесов устанавливается такой, чтобы в состоянии покоя центры шаров находились на одном уровне вне зависимости от их размеров.

Мгновенные скорости шаров до и после удара можно определить из закона сохранения энергии

.

Отсюда . В данном случае высоту поднятия шара h удобно выразить через угол отклонения шара

, (5.10)

где l - длина подвеса шаров.

Отсчет углов отклонения шаров ведется по правой и левой круговым шкалам 2 со смещенными по горизонтали нулями.

Для удержания шаров в исходном положении установка снабжена двумя электромагнитами 3, которые обесточиваются с помощью тумблеров «Пуск».

К установке прилагается набор шаров, массы которых измерены с относительной погрешностью 1 % .

Проведение эксперимента

Задание 1. Изучение упругого столкновения шаров

Измерения

1. В качестве ударяющего обычно выбирается левый шар. Его отводят на угол 30 - 40, который во всех опытах можно оставлять постоянным. Правый шар, согласно условиям этой работы, до удара должен быть неподвижным и находится в нижнем положении.

2. Перед каждым опытом проводят необходимую регулировку подвесов шаров для того, чтобы удар был центральным. В равновесном состоянии шары должны только касаться друг друга, а их центры должны находиться на одной высоте. Для проверки регулировки проводят несколько пробных соударений.

3. При отсчете углов отклонения шаров глаз нужно располагать так, чтобы он был в створе с обеими нитями. Будем считать углы отклонения шаров вправо - положительными, а углы отклонения влево и соответствующие им скорости - отрицательными. Так как трудно засечь значение двух углов одновременно, каждый опыт приходиться делать дважды: один раз для того, чтобы засечь угол отклонения правого шара, второй раз - левого.

4. Из набора шаров выбирают шар средней массы и укрепляют его на левом подвесе. На правом подвесе вначале укрепляют шар наименьшей массы.

5. Проводят не менее трех опытов для того, чтобы иметь возможность вычислить средние значения углов отклонения.

6. Далее проводят опыты со всеми другими шарами из набора, по очереди подвешивая их на правый подвес. Левый шар можно не менять. Все данные измерений заносят в таблицу 5.1 отчета.

1. Для каждого опыта вычисляют скорости шаров до и после удара. Вычисляют коэффициенты восстановления скорости и находят его среднее значение по результатам всех опытов. Вычисляют стандартное отклонение среднего значения коэффициента (табл. 5.2 отчета).

2. Для каждого опыта вычисляют кинетические энергии шаров до и после удара. Вычисляют кинетические энергии системы до и после удара. Вычисляют коэффициенты восстановления энергии и находят его среднее значение по результатам всех опытов. Вычисляют стандартное отклонение среднего значения коэффициента (табл. 5.3 отчета).

3. Подставляя в формулу (5.6) различные значения отношения масс шаров (лучше брать те значения, которые имеются в опыте), вычисляют теоретические значения эффективности упругого удара fтеор.

4. Для каждого опыта вычисляют экспериментальную эффективность упругого удара fэксп., как .

5. Строят графики зависимости теоретического и экспериментального значений эффективности упругого удара от отношения масс шаров (на одних координатных осях). Делают вывод о совпадении теории и эксперимента.

Задание 2. Изучение неупругого столкновения шаров

Измерения

1. Для того чтобы получить неупругий удар шаров к неподвижному шару прикрепляют кусочек пластилина. Необходимо добиться, чтобы после удара шары двигались как одно целое.

2. Слева подвешивается шар средней массы. Правые шары меняются для того, чтобы получить различные отношения масс шаров. Результаты измерения углов отклонения заносят в таблицу 5.4 отчета.

1. Для каждого опыта вычисляют скорости и кинетические энергии шаров до и после удара (табл. 5.5 отчета). Вычисляют коэффициенты восстановления энергии шаров. Вычисляют эффективности неупругого удара qэкспер.

2. Подставляя в формулу (5.9) различные значения отношения масс шаров, вычисляют теоретические значения эффективности упругого удара qтеор.

3. Строят графики зависимости теоретического и экспериментального значений эффективности неупругого удара от отношения масс шаров (на одних координатных осях). Делают вывод о совпадении теории и эксперимента.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПОЛЕТА ПУЛИ МЕТОДОМ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Изучение практического приложения теории неупругого удара, а также законов сохранения импульса и энергии.

Идея эксперимента

Скорость полета пули обычно достигает значительной величины. Поэтому прямое измерение скорости, т. е. определение времени, за которое пуля проходит известное расстояние, требует специальной аппаратуры. Много проще измерять скорость пули косвенными методами, среди которых широко распространены методы, использующие неупругие соударения, т. е. соударения, в результате которых сталкивающиеся тела соединяются вместе и продолжают движение как целое. К числу методов, основанных на этой идее, относится метод баллистического маятника.

Теория

Баллистический маятник представляет собой тяжелое тело, подвешенное на четырех нитях (рис. 12). Горизонтально летящая пуля попадает в маятник и застревает в нем, - происходит неупругий удар. После удара маятник начинает качаться на нитях, так что его продольная ось остается параллельной самой себе, центр масс перемещается по окружности, а тело в целом движется поступательно.

Соударение пули с маятником происходит в течение очень короткого промежутка времени, но за это время маятник приобретает некоторую скорость и незначительно сдвигается из положения равновесия. При таких малых перемещениях смещение маятника происходит практически без изменения высоты. При соударении пули с маятником справедлив закон сохранения импульса

, (6.1)

где m - масса пули, M - масса маятника, v - скорость пули, V - скорость маятника непосредственно после удара.

Чтобы определить величину V, нужно измерить высоту h, на которую поднимается маятник после удара. Из закона сохранения энергии получается

. (6.2)

Соотношения (6.1) и (6.2) дают

. (6.3)

Высоту подъема центра масс маятника можно определить из рис. 13:

,

где R-расстояние от шкалы с миллиметровыми делениями до уровня подвеса маятника.

Учитывая, что hR, получаем: 2Rh = s2. Определяя отсюда h и подставляя в (6.3), получаем рабочую формулу метода

. (6.4)

Для определения скорости пули можно применить модифицированный баллистический метод, используя физический маятник в виде стержня или деревянной рейки, подвешенной за один конец (рис. 14).

Пуля, ударившись о линейку, приводит её в движение с некоторой угловой скоростью и сообщает ей кинетическую энергию

. (6.5)

Момент инерции линейки (стержня) находится по стандартной формуле

. (6.6)

После удара линейка поворачивается на некоторый угол, причем центр ее тяжести поднимается на высоту h, которую, как и в первом опыте, можно найти из соотношений в треугольниках

. (6.7)

По закону сохранения энергии

. (6.8)

К удару пули о линейку можно также применить закон сохранения момента импульса

, (6.9)

где M - масса линейки, m -масса пули, l - длина линейки, R - расстояние от точки удара пули до оси вращения линейки.

Соотношения (6.5) - (6.9) позволяют получить окончательную формулу для вычисления скорости пули (вывод рабочей формулы выполнить самостоятельно). При выводе можно считать, что l R , т. к. выстрел обычно производиться в точку, расположенную вблизи конца линейки.

Экспериментальная установка

Используемый в данной работе баллистический маятник представляет собой обрезок трубы с пластилином, подвешенный на четырех нитях. В нижней части маятника укреплен визир. При перемещении маятника визир передвигает измерительную планку вдоль горизонтальной миллиметровой шкалы, что позволяет измерить смещение s. На некотором расстоянии от маятника укреплено пневматическое ружьё. При выстреле скорость пули направлена по прямой, проходящей через центр тяжести маятника и перпендикулярно к оси его вращения.

Для второго опыта деревянную линейку подвешивают на оси. Выстрел производиться в коробочку с пластилином, укрепленную на конце линейки.

Проведение эксперимента

Задание 1. Определение скорости пули с помощью баллистического маятника

Измерения

2. Записывают исходные данные опыта: массу маятника М и расстояние R. Для выстрелов желательно использовать одну и ту же пулю, масса которой вместе с погрешностью ее измерения известны.

3. Производят 3 - 5 выстрелов. В каждом опыте записывают смещение s. Все полученные данные заносят в таблицу 6.1 отчета.

Обработка результатов

1. Расчет скорости пули проводится по формуле (6.4), в которую подставляется среднее по всем опытам значение s.

2. Выводят формулу для расчета погрешности измерения скорости пули. В качестве погрешностей измерения входящих в формулу масс берут заданные погрешности М и m. Погрешность R выбирают, исходя из условия измерения величины R. Инструментальная погрешность измерения смещения s равна s = 0,5 мм.

Задание 2. Определение скорости пули с помощью физического маятника.

Измерения и обработка результатов

Баллистический маятник отводят в сторону и укрепляют на оси линейку. Методика проведения опыта аналогична той, которая используется в задании 1. Все данные заносят в таблицу 6.2. отчета.

В отчете необходимо представить рабочую формулу и формулу для расчета погрешности v.

В выводе необходимо сравнить результаты, полученные в первом и втором задании.

ИЗУЧЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы

Изучение основных закономерностей колебательного движения физического маятника.

Идея эксперимента

Колебания являются одним из наиболее распространенных видов движения. При достаточно малых отклонениях от положения равновесия колебания бывают обычно гармоническими.

Физическим маятником называется твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси О, не проходящей через центр масс С тела (рис. 15).

Если маятник выведен из положения равновесия на некоторый угол , то составляющаясилы тяжести уравновешивается силой реакции оси О, а составляющая стремится возвратить маятник в положение равновесия. Все силы приложены к центру масс тела. При этом

. (7.1)

Знак минус означает, что угловое смещение и возвращающая сила имеют противоположные направления. При достаточно малых углах отклонения маятника

из положения равновесия sin , поэтому F -mg. Поскольку маятник в процессе колебаний совершает вращательное движение относительно оси О, то оно может быть описано основным законом динамики вращательного движения

, (7.2)

где М - момент силы F относительно оси О, J - момент инерции маятника относительно оси О, - угловое ускорение маятника.

Момент силы в данном случае равен

M = Fl = -mgl , (7.3)

где l - расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника.

С учетом (7.2) уравнение (7.1) можно записать в виде

(7.4)

или

, (7.5)

где

=0cos(0t+) , (7.6)

позволяющая определить положение маятника в любой момент времени t. Из выражения (7.6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания (колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по законам синуса или косинуса) с амплитудой колебаний 0, циклической частотой , начальной фазой и периодом

, (7.7)

где L = J/(mg) - приведенная длина физического маятника, т.е. длина такого математического маятника, период которого совпадает с периодом физического маятника.

Формула (7.7) позволяет определить момент инерции твердого тела относительно любой оси, если измерен период колебаний этого тела относительно этой оси.

Если физический маятник имеет правильную геометрическую форму и его масса равномерно распределена по всему объему, в формулу (7.7) можно подставить соответствующее выражение для момента инерции (Приложение 3). Например, для физического маятника, имеющего вид однородного стержня, колеблющегося вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной стержню, формула (7.7) приобретает вид

, (7.8)

где d - длина стержня, l - расстояние от оси качаний до центра тяжести стержня.

Экспериментальная установка

Применяемый в данной работе физический маятник состоит из однородного металлического стержня и опорной призмы, которая может перемещаться вдоль стержня. Можно также использовать стержень с отверстиями, с помощью которых маятник одевается на горизонтальную ось. Период колебаний маятника измеряется с помощью ручного или стационарного секундомера.

Проведение эксперимента

Задание 1. Изучение зависимости периода колебаний физического маятника от расстояния между осью качаний и центром тяжести маятника.

Измерения

Измеряют периоды колебаний Т физического маятника при различных расстояниях l между центром тяжести и осью качаний. Шаг изменения расстояния l выбирают с таким расчетом, чтобы получить 8-10 экспериментальных точек. Число колебаний в каждом опыте 15-20. Полученные данные заносят в таблицу 7.1 отчета.

Обработка результатов

2. Строят график зависимости периода колебаний маятника от расстояния l.

3. График T = f(l) представляет собой кривую сложной формы. Для дальнейшей обработки его следует линеаризировать. В качестве новых переменных выбирают Т2l и l2, т. е. строят график зависимости (Т2l) = f(l2). Если экспериментальные точки ложатся на прямую с небольшим разбросом, то можно сделать вывод о правильности формулы периода колебаний физического маятника.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5