Совокупность векторов v(t), заданных для всех точек пространства, называется полем вектора скорости. Это поле можно наглядно изобразить с помощью линий тока (рис. 39.1). Линию тока

можно провести через любую точку пространства. Если построить все мыслимые линии тока, они просто сольются друг с другом. Поэтому для наглядного представления течения жидкости строят лишь часть линий, выбирая их так, чтобы густота линий тока была численно равна модулю скорости в данном месте. Тогда по картине линий тока можно судить не только о направлении, но и о модуле вектора v в разных точках пространства. Например, в точке А на рис.39.1 густота линий, а следовательно и модуль v, чем в точке В. Поскольку разные частицы жидкости могут проходить через данную точку про-странства с разными скоростями (т. е. v = v(t)), кар-тина линий тока, вообще говоря, все время изме-няется. Если скорость в каждой точке пространства остается постоянной (V=const), то течение жидко-сти Называется стационарным (установившим-ся). При стационарном течении любая частица жидкости проходит через данную точку пространства с од-ной и той же скоростью v. Картина линий тока при стационарном течении остается неизменной, и линии тока в этом случае совпадают с траекториями частиц. Если через все точки небольшого замкнутого контуpa провести линии тока, образуется поверхность, которую называют трубкой тока. Вектор v касателен к поверхности трубки тока в каждой ее точке. Следовательно, частицы жидкости при своем движе-нии не пересекают стенок трубки тока.

Возьмем трубку тока, достаточно тонкую для того, чтобы во всех точках ее поперечного сечения S скорость частиц v была одна и та же (рис. 39.2). При стационарном течении трубка тока подобна стен-кам жесткой трубы. Поэтому через сечение 5 прой-дет за время Дt объем жидкости, равный SvДt, а в единицу времени объем

(39.1)

Жидкость, плотность которой всюду одинакова и изменяться не может, называется несжимаемой. На рис. 39.3 изображены два сечения очень тонкой трубки тока -- S1 и S2. Если жидкость несжи-маема , то кол - во ее между этими сечениями остается неизменным. От-сюда следует, что

объемы жидкости, протекающие в единицу времени через сечения S1 и S2, должны быть одинаковыми:

(39.2)

(напомним, что через боковую поверхность трубки тока частицы жидкости не проникают).

Равенство (39.2) справедливо для любой пары произвольно взятых сечений. Следовательно, для не-сжимаемой жидкости при стационарном течении про-изведение Sv в любом сечении данной трубки тока имеет одинаковое значение:

(39.3)

Это утверждение носит название теоремы о неразрывности струи.

Мы получили формулу (39.3) для несжимаемой жидкости. Однако она применима к реальным жидко-стям и даже к газам в том случае, когда их сжимае-мостью можно пренебречь. Расчеты показывают, что при движении газов со скоростями, много меньшими скорости звука в этой среде, их можно с достаточной точностью считать несжимаемыми.

Из соотношения (39.3) вытекает, что при изме-няющемся сечении трубки тока частицы несжимаемой жидкости движутся с ускорением (рис. 39.4). Если трубка тока горизонтальна, это ускорение может быть обусловлено только непостоянством давления вдоль трубки -- в местах, где скорость больше, давление должно быть меньше, и наоборот. Аналитическую связь между скоростью течения и давлением мы уста-новим в следующем параграфе.

2. Уравнение Бернулли

В реальных жидкостях при перемещении слоев жидкости друг относительно друга возникают силы внутреннего трения, тормозящие относительное сме-щение слоев. Воображаемая жидкость, у которой внутреннее трение полностью отсутствует, называется идеальной. Течение идеальной жидкости не со-провождается диссипацией энергии (см. предпослед-ний абзац § 24).

Рассмотрим стационарное течение несжимаемой идеальной жидкости. Выделим объем жидкости, огра-ниченный стенками узкой трубки тока и перпендику-лярными к линиям тока сечениями S1 и S2 (рис. 40.1), За время А/ этот объем сместится вдоль трубки тока, причем граница объема S1 получит перемещение Дl2 , а граница S2 -- перемещение Дl2. Работа, совершае-мая при этом силами давления, раина приращению полной энергии (Ek + Ep), заключенной в рассматри-ваемом объеме жидкости.

Силы давления на стенки трубки тока перпенди-кулярны в каждой точке к направлению перемещения жидкости, вследствие чего работы не совершают. От-лична от нуля лишь работа сил давления, приложенных к сечениям S1 и S2. Эта работа равна (см. рис. 40.1).

Полная энергия рассматриваемого объема жидко-сти слагается из кинетической энергии и потенциалальной энергии в поле сил земного тяготения. Вслед-ствие стационарности течения полная энергия той части жидкости, кото-рая ограничена сече-ниями 1' и 2 (внутрен-няя незаштрихованная часть трубки тока на рис. 40.1), за время Дt не изменяется. Поэто-му приращение полной энергии равно разности значений полной энер-гии заштрихованных объемов ДV2 и ДV1, масса которых Дm = рДV (р -- плотность жидкости).

Возьмем сечение S трубки тока и перемещения Дl настолько малыми, чтобы всем точкам каждого из заштрихованных объёмов можно было приписать одно и то же значение скорости v , давления p, и высоты h. Тогда дли приращения полной энергии получается выражение

Приравняв выражения (40.1) и (40.2), сократив на AV и перенеся члены с одинаковыми индексами в' одну часть равенства, придем к уравнению

Это уравнение становится вполне строгим лишь при стремлении поперечного сечения S к нулю, т. е. при стягивании трубки тока в линию. Следовательно, ве-личины и, h и р в обеих частях равенства нужно рассматривать как относящиеся к двум произвольным точкам одной и той же линии тока.

При выводе формулы (40.3) сечения S1 и S2 были взяты совершенно произвольно. Поэтому можно утверждать, что в стационарно текущей несжимаемой и идеальной жидкости вдоль любой линии тока вы-полняется условие

Уравнение (40.3) или равнозначное ему уравнение (40.4) называется уравнением Бернулли. Хотя это уравнение было получено для идеальной жидкости, оно хорошо выполняется для реальных жидкостей, у которых внутреннее трение невелико.

3. Истечение жидкости из отверстия

Рассмотрим истечение идеальной несжимаемой жидкости из небольшого отверстия в широком откры-том сосуде (рис. 41.1). Выделим мысленно в жидко-сти трубку тока, сечениями ко-торой являются открытая по-верхность жидкости S1 и сече-ние струи при выходе из отвер-стия S2 (если не принять спе-циальных мер, то сечение струи будет меньше отвер-стия). Для всех точек каждого из этих сечений скорость жид-кости v и высоту h над некото-рым исходным уровнем можно считать одинаковыми. Поэтому к данным сечениям можно применить теорему Бернулли. Давления р1 и р2 в обоих сечениях одинаковы и равны атмосферному. Скоростью v1 пе-ремещения открытой поверх-ности жидкости ввиду ее малости можно пренебречь. Поэтому уравнение (40.3) в данном случае упро-щается следующим образом:

Рис.41.1.

где v -- скорость жидкости в сечении S2 (скорость истечения из отверстия). Сократив на р, можно на-писать, что где h = h1 -- h2 -- высота открытой поверхности над отверстием.

Формула (41.1) называется формулой Торричелли. Из нее следует, что скорость истечения жидкости из отверстия, находящегося на глубине h под открытой поверхностью жидкости, совпадет со скоростью, которую приобретает любое тело, падая с высоты h (в случае, если сопротивлением воздуха можно пренебречь). Этот результат получен в пред-положении, что жидкость идеальна. Для реальных жидкостей скорость истечения будет меньше, причем тем сильнее отличается от значения, определяемого формулой Торричелли, чем больше внутреннее трение в жидкости. Например, глицерин будет вытекать из сосуда медленнее, чем вода.

4. Вязкость. Течение жидкости в трубах

Идеальная жидкость, т. е. жидкость без внутрен-него трения, является абстракцией. Всем реальным жидкостям и газам в большей или меньшей степени присуще внутреннее трение, называемое также вязкостью. Вязкость проявляется, в частности, в том, что возникшее в жидкости или газе движение, после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается. Примером может служить движение жидкости в стакане после того, как ее пе-рестают размешивать ложечкой.

Рассмотрим течение жидкости в круглой трубе. Измерения показывают, что при медленном течении скорость частиц жидкости изменяется от нуля в не-посредственной близости к стенкам трубы до макси-мума на оси трубы.

Жидкость при этом оказывается как бы разделенной на тонкие цилиндрические слои, которые скользят друг относительно друга, не пере-мешиваясь (рис. 42.1). Такое течение называется ла-минарным или слоистым (латинское слово lamina означает пластинку, полоску). Отсутствие пе-ремешивания слоев можно наблюдать, создав в стек-лянной трубке диаметра несколько сантиметров сла-бый поток воды и вводя на оси трубы через узкую трубочку окрашенную жидкость (например, анилин). Тогда по всей длине трубы возникнет тонкая окра-шенная струйка, имеющая отчетливую границу с водой.

Из повседневного опыта известно, что для того, чтобы Создать и поддерживать постоянным течение жидкости в трубе, необходимо наличие между кон-цами трубы разности давлений. Поскольку при уста-новившемся течении жидкость движется без ускоре-ния, необходимость действия сил давления указывает на то, что эти силы, уравновешиваются какими-то си-лами, тормозящим движение. Этими силами являет-ся силы внутреннего трения на границе со стенкой трубы и на границах между слоями. Более быстрый слой стремится увлечь за собой более медленный слой, действуя на него с силой F1 направленной по течению. Одновременно более медленный слой стрёмится замедлить движение более быстрого слон, дей-ствуя на него с силой F2y направленном против тече-ния (рис. 42.2).

Экспериментально установлено, что модуль СИЛЫ внутреннего трения, приложенной к площадке 5, ле-жащей на границе между слоями, определяется фор-мулой

где n-- называемый вязкостью коэффициент про-порциональности, зависящим от природы и состояния

(например, температуры) жидкости, dv/dz--производная, показывающая, как быстро изменяется в дан-ном месте скорость течения в направлений г, перпен-дикулярном к площадке S. В случае качения жидко-сти в трубе ось z направлена в каждой точке границы между слоями по радиус} грубы (см. pиc, 42.1), Поэтому вместо dv/dz можно написать, dv/df, Знак мо-дуля в формуле (42.1) поставлен в связи с тем, что в зависимости от выбора направления оси z и харак-тера изменения скорости производная dv/dz может быть как положительной, так и отрицательной, в то время как модуль силы является положительной ве-личиной.

Мы уже отмечали, что при ламинарном течении жидкости в круглой трубе скорость равна нулю у стенки трубы и максимальна па оси трубы. Най-дем закон изменения скорости. Выделим воображае-мый цилиндрический объем жидкости радиуса r и длины l (рис. 42.3). При стационарном течении этот объем движется без ускорения. Следовательно, сумма приложенных к нему сил равна нулю. В направлении

движения на жидкость действует сила давления, мо-дуль которой равен p1Пr2; во встречном направле-нии-- сила давления, модуль которой равен p2Пr2. Результирующая сил давления имеет модуль

(Пr2 -- площадь основания цилиндра).

На боковую поверхность действует тормозящая движение сила внутреннего трения, модуль которой

согласно формуле

(42.1) равен

где 2Пrl -- площадь бо-ковой поверхности ци-линдра, dv/dr -- зна-чение производной на расстоянии r от оси трубы. Скорость убывает с расстоянием от оси труби, поэтому производ-ная dv/dr отрицательна и ее модуль равен --dv/dr {модуль отрицательного числа равен этому числу, взя-тому с обратным знаком).

Приравняв выражения (42.2) и (42.3), придем к дифференциальному уравнению

Разделив переменные, получим уравнение

интегрирование которого дает, что

Постоянную интегрирования С нужно выбрать так, чтобы на стенке трубы (т. е. при г = R) скорость об* ращалась в нуль. Это условие выполняется при

Подстановка этого значения в (42.4) приводит к фор-муле

Скорость на оси трубы равна

С учетом этого формулу (42.5) можно написать в виде

Отсюда следует, что при ламинарном течения скорость изменяется с расстоянием от оси трубы но параболическому закону (рис. 42.4а).

С помощью формулы (42.7) можно вычисти, по-ток жидкости Q, т. е. объем жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы и единицу времени. Разобьем сечение трубы на кольца ширины dr (рис. 42.5). Через кольцо радиуса r пройдёт в еди-ницу времени объем жидкости dQ, равный произведе-нию площади кольца 2Пrdr на скорость v(t) на рас-стоянии от оси трубы:

(мы воспользовались формулой (42.7)). Проинтег-рировав это выражение по г в пределах ОТ пули до R, получим поток Q:

(S--площадь сечения трубы). Поток можно пред-ставить как произведение среднего по сечению значения скорости <и> на площадь 5. Из формулы (42.8) следует, что при ламинарном течении среднее значение скорости равно половине значения скорости на оси трубы.

Подставив в (42.8) выражение (42.6) дли с>о, по-лучим формулу

которая называется ф о р м у л о й П у а з е й л я . Из нее следует, что поток очень сильно зависит от радиуса трубы.

Естественно, что Q пропорционален отношению {P1 -- Р2) / l т. е. перепаду давле-ния на единице длины трубы, а также обратно пропорционален вязкости жидкости n.

Формула Пуазейля использу-ется для определения вязкости жидкостей и газов. Пропуская жидкость или газ через трубку известного радиуса, измеряют перепад давления и поток Q. Затем на основании полученных данных вычисляют n.

Мы все время подчеркивали, что предполагаем те-чение медленным для того, чтобы оно имело ламинар-ный характер. Напомним, что ламинарное течение яв-ляется стационарным. Это означает, что скорость ча-стиц жидкости, проходящих через данную точку про-странства, все время одна и та же. Если увеличивать скорость течения, то при достижении определенного значения скорости характер течения резко меняется. Течение становится нестационарным -- скорость ча-стиц в каждой точке пространства все время беспоря-дочно изменяется. Такое течение называется тур-булентным. При турбулентном течении происхо-дит интенсивное перемешивание жидкости. Если в турбулентный поток ввести окрашенную струйку, то уже на небольшом расстоянии от места ее введения окрашенная жидкость равномерно распределится по всему сечению потока. Это можно наблюдать в упоминавшемся выше опыте, если увеличить поток воды в стеклянной трубке.

Поскольку при турбулентном течении скорость в каждой точке все время меняется, можно говорить только о среднем по времени значении скорости, кото-рая при неизменных условиях течения оказывается постоянной в каждой точке пространства. Профиль средних скоростей для одного из сечений трубы при турбулентном течении показан на рис. 42.56. Сравне-ние с рис. 42.5 а показывает, что вблизи стенки трубы скорость изменяется гораздо сильнее, чем при лами-нарном течении; в остальной части сечения скорость изменяется меньше.

Рейнольдс установил, что характер течения оп-ределяется значением безразмерной величины

где р-- плотность жидкости (или газа), v -- средняя по сечению трубы скорость потока, n - вязкость жид-кости, l -- характерный для поперечного сечения по-тока размер, например сторона квадрата при квад-ратном сечении, радиус или диаметр при круглом се-чении. Величина Re называется числом Рейнольдса.

При малых значениях Re течение носит ламинар-ный характер. Начиная с некоторого значения Re, называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер. Если в качестве характер-ного размера трубы взять ее радиус (в этом случае Re = pvr/n), то критическое значение числа Рейнольдса оказывается равным примерно 1000 (если в качестве / взять диаметр трубы, то критическое зна-чение Re будет равно 2000).

Число Рейнольдса служит критерием подобия для течения жидкостей в трубах, каналах и т. д. Напри-мер, характер течения различных жидкостей (или га-зов) в круглых трубах разных диаметров будет оди-наковым, если каждому течению соответствует одно и то же значение Re.

В число Рейнольдса входит отношение плотности р и вязкости т). Величина

называется кинематической вязкостью. Чтобы отличить ее от v, величину n называют ди-намической вязкостью. Будучи выраженным через кинематическую вязкость, число Рейнольдса имеет вид

5. Движение тел в жидкостях и газах.

Воздействие жидкой или газообразной среды на движущееся в ней с постоянной скоростью v тело бу-дет таким же, каким было бы действие на неподвиж-ное тело набегающего на пего со скоростью v одно-родного потока жидкости или газа (в дальнейшем для краткости мы будем говорить только о жидко-сти, подразумевая при этом и газы). Следовательно, при выяснении сил, действующих на тело, безраз-лично, что считать движущимся -- тело или среду. Удобно предполагать тело неподвижным, а среду дви-жущейся. Поэтому мы будем, как правило, рассмат-ривать действие на неподвижное тело набегающего

па пего потока, помня, что результаты, полученные в этом случае, будут справедливыми и для случая движения тела относительно неподвижной среды.

Силу F, с которой набегающий поток действует на тело, можно разложить на две составляющие: на-правленную вдоль скорости v невозмущенного потока силу X, называемую лобовым сопротивлением, и перпендикулярную к v силу У, называемую подъемной силой. Лобовое сопротивление слагается из сил давления и сил внутреннего трения. Очевидно, что на тело, симметричное относительно направления скорости потока v, может действовать только лобовое сопротивление, подъемная же сила в этом случае будет отсутствовать.

Можно доказать, что в несжимаемой идеальной жидкости равномерное движение тела произвольной формы должно было бы происходить без лобового сопротивления. Этот результат получил название парадокса Даламбера.

Покажем отсутствие лобового сопротивления на примере обтекания идеальной жидкостью очень длин-ного («бесконечного») цилиндра (рис. 43.1). Не обла-дая вязкостью, идеальная жидкость должна сколь-зить по поверхности цилиндра, полностью обтекая его.

Поэтому линии тока будут симметричными как отно-сительно прямой, проходя-щей через точки 2 и 3, так и относительно прямой, проходящей через точки 2 и 4. Теорема Бернулли позволяет по картине линий тока судить о давлении в разных точках потока. Вблизи точек 1 и 3 давление одинаково (и больше, чем в невозмущенном потоке, так как скорость вблизи этих точек меньше). Вблизи точек 2 и 4 давление также одинаково (и меньше, чем в невозмущенном потоке, так как скорость вблизи этих точек, больше) Следовательно, результирующая сил давления на по-верхность цилиндра (которая в отсутствие вязкости могла бы обусловить лобовое сопротивление) будет равна нулю. Как уже отмечалось, такой же результат получается и для тел любой (в том числе и несиммет-ричной) формы. Этот вывод касается только лобового сопротивления. Подъемная сила, равная нулю для симметричных тел (см., например, рис. 43.1), для не-симметричных тел отлична от нуля.

На рис. 43.2 показаны линии тока при обтекании идеальной жидкостью полуцилиндра. Вследствие идеального обтекания линии тока несимметричны относитель-но прямой, проходящей через точки 2 и 4. Однако от-носительной прямой, проходящей через точки, 1 и 3 картина линий тока несимметрична. Вблизи точки 2 где линии гуще, давление меньше, чем вблизи дочки 4 , в результате чего возникает подъемная сила.

Иначе обстоит дело при движении тела в вязкой жидкости. В этом случае очень топкий слой жидкости прилипает к поверхности тела и движется с ним как одно целое, увлекая за собой из-за внутреннего тре-ния последующие слои. По мере удаления от поверх-ности тела скорость слоев становится все меньше и, наконец, на некотором расстоянии от поверхности жидкость будет не возмущенной движением тела. Таким образом, тело оказывается окруженным слоем жидкости с быстро изменяющейся внутри него ско-ростью. Этот слой называется пограничным. В нем действуют силы вязкого трения, которые в конечном счете приложены к телу и приводят к возник-новению лобового сопротивления.

Но влияние вязкости не исчерпывается возникновением сил трения. Наличие пограничного слоя в кор-не изменяет характер обтекания тела жидкостью.

Полное обтекание становит-ся невозможным. Действие сил трения в пограничном

слое приводит к тому, что поток отрывается от по-верхности тела, в результате чего позади тела возни-кают вихри (рис. 43.3). Вихри уносится потоком и постепенно затухают вследствие трения; при этом энергия вихрей расходуется на нагревание жидкости. Давление в образующейся за телом вихревой области оказывается пониженным, вследствие чего результи-рующая сил давления отлична от нуля. Это в свою очередь обусловливает лобовое сопротивление.

Таким образом, как уже отмечалось, лобовое сопротивление слагается из сопротивления трения и со-противления давления. При данных поперечных раз-мерах тела сопротивление давления сильно зависит от формы тела. Наименьшим сопротивлением давления обладают тела хорошо обтекаемой каплевидной формы (рис. 43.4).

Соотношение между сопротивлением трения и сопротивлением давления определяется значением числа Рейнольдса (см. формулу (42.10)). В данном слу-чае v -- скорость тела относительно жидкости (или скорость потока, набегающего на тело), l -- характер-ный размер тела, например радиус для тела шаровой формы. При малых Re (т. е. при малых v и l) основ-ную роль играет сопротивление трения, так что сопротивлением давления можно пренебречь. С ростом вязкости относительная роль сил трения возрастает. По мере увеличения Re роль сопротивления давления все больше растет. При больших значениях Re в ло« бовом сопротивлении преобладают силы давления.

Определяя характер сил, действующих на тело в потоке жидкости или газа, число Рейнольдса служит критерием подобия и в этом случае. Это обстоятель-ство используется при моделировании. Например, мо-дель самолета ведет себя в потоке газа так же, как и ее прообраз, если кроме геометрического подобия модели и самолета будет соблюдено равенство для них значений числа Рейнольдса.

Стокс установил, что при небольших скоростях и размерах тел (т. е. при малых Re, когда сопротив-ление среды обусловлено практически только силами трения), модуль силы сопротивления определяется формулой

Здесь n -- динамическая вязкость среды, v -- скорость движения тела, l -- характерный размер тела, k -- коэффициент пропорциональности, который зависит от формы тела. Для шара, если взять в качестве l его радиус r, коэффициент пропорциональности равен 6П.Следовательно, сила сопротивления движению в жидкостях небольших шариков при малых скоростях равна

Надо иметь в виду, что формула Стокса справедлива при условии, что расстояние от тела до границ жидкости (например, до стенок сосуда) много больше размеров тела.

Самолет поддерживается в воздухе подъемной си-лой, действующей на его крылья. Лобовое сопротивление играет при полете самолета вредную роль По этому крыльям и фюзеляжу самолета придают удобообтекаемую форму (рис. 43.5). Вследствие асим-метричной формы и наклонного расположения крыла скорость воздуха над крылом оказывается больше (а, следовательно, давление меньше), чем под крылом. Благодаря этому создается подъем-ная сила. Существенную роль в образовании подъ-емной силы играет вяз-кость воздуха, которая обусловливает образова-ние вихрей, отрывающих-ся от задней кромки крыла. Однако вникать в детали явлений, обусловливающих подъёмную силу, мы не имеем возможности .

Основы теории крыла самолета создал в 1904 г. Жуковский, который сформулировал теорему о подъемной силе и вывел формулу для определения этой силы, являющуюся основой всех аэродинамиче-ских расчетов самолетов.