Разнообразие кристаллографических форм

Разнообразие кристаллографических форм

3

Кристаллическое строение имеют горные породы, минералы, технические камни (цемент, огнеупоры, металлы). В аморфном состоянии находятся стекла: природные (обсидиан) и технические - смолы, гудрон, парафин, воск, стекло.

Кристалл - это физическое тело, частицы которого образуют кристаллическую решетку, имеют определенную геометрическую форму. В идеальном случае - вершина кристалла соответствует атому, молекуле, иону; ребро - ряду атомов, молекул, ионов; грань - плоской сетке. В реальных кристаллах при большом увеличении можно увидеть, что вершина состоит из многих частиц, ребро - из многих рядов, грань - из многих плоских сеток, расположенных параллельно.

Макроскопически заметные параллельные грани называются вациналями.

1.1 Элементы симметрии

Закономерное расположение частиц обуславливает внутреннюю и внешнюю симметрию. Симметрия - в переводе означает соразмерность. Симметричной фигурой - кристаллом - называется совокупность закономерно повторяющихся физически и геометрически равных частей. Вспомогательные геометрические образы - точки, прямые, плоскости, позволяющие установить симметрию кристалла, называются элементами симметрии.

Плоскостью симметрии называется такая плоскость, которая делит фигуру на две зеркально совместимые части. Для конечных многогранников плоскость симметрии обозначается латинской буквой P - начальной от слова "plane". Для бесконечных структур по международной номенклатуре этот элемент обозначается буквой "m" - начальной буквой слова "miror" - зеркало.

Центром инверсии называется такая точка внутри фигуры, которая делит отрезки, соединяющие соответственные точки фигуры, пополам. Для конечных многогранников центр инверсии обозначается буквой "C", для бесконечных структур "".

Осью симметрии называется такая ось, при повороте вокруг которой на определенный угол фигура совмещается сама с собой. Наименьший угол поворота, при котором достигается совмещение, называется элементарным углом - б. Количество совмещений при повороте на 360? называется порядком оси и обозначается значком "n". Порядок оси и элементарный угол связаны соотношением - n = . Ось симметрии обозначается буквой Ln, где значок справа внизу обозначает порядок оси:

L1 - ось первого порядка с элементарным углом 360?. Таким элементом симметрии обладают самые бесформенные тела - они совмещаются при полном повороте на 360?. Это своеобразный "0" в кристаллографии - отсутствие симметрии;

L2 - ось второго порядка - совмещение достигается при повороте на 180?;

L3 - ось третьего порядка - совмещение достигается при повороте на 120?;

L4 - ось четвертого порядка - совмещение достигается при повороте на 90?;

L6 -ось шестого порядка - совмещение достигается при повороте через 60?.

Осей пятого порядка и выше шестого в кристаллах не существует, из-за их решетчатого строения.

Инверсионной осью симметрии называется такой элемент, действие которого складывается из действия простой оси и центра инверсии, участвующих совместно. Оси симметрии обозначаются также буквой L со значком "in":

Li1 - инверсионная ось первого порядка по определению складывается из L1+C, то есть просто С. По международной номенклатуре обозначается "T";

Li2 - инверсионная ось второго порядка складывается из L2+С, нетрудно убедиться, что эти два элемента можно заменить плоскостью симметрии (Р), перпендикулярной этому направлению;

Li3 - инверсионная ось третьего порядка слагается из L3+С, но они всегда встречаются вместе и проще выявлять L3 и С;

Li4 и Li6 - соответственно инверсионные оси четвертого и шестого порядка.

1.2 Виды, сингонии, категории

Каждый многогранник обладает определенной симметрией. Совокупность элементов симметрии, свойственная многограннику, называется видом симметрии. Всего выведено 32 вида симметрии. Логичный вывод всех видов симметрии был сделан русским ученым А.В.Гадолиным в 1869 году.

Виды симметрии сгруппированы в сингонии - группы с общими чертами структуры.

В триклинную сингонию объединены два вида симметрии с осями первого порядка -L1 и Li1, то есть - С.

В моноклинную сингонию объединяются виды симметрии с одной осью симметрии второго порядка - простой или инверсионной.

В ромбическую сингонию объединяются виды симметрии с несколькими осями второго порядка - простыми или инверсионными.

Внешняя симметрия кристаллов триклинной, моноклинной, ромбической сингоний, объединяемых в низшую категорию, связана с их структурой.

В тригональную сингонию объединяются виды симметрии, имеющие одну ось третьего порядка, в тетрагональную - одну ось четвертого порядка, в гексагональную - одну ось шестого порядка. Эти три сингонии, характеризующиеся наличием одной оси высшего порядка, объединяются в среднюю категорию.

В высшую категорию включается кубическая сингония, характеризующаяся наличием нескольких осей 3-го и 4-го порядка. Осей шестого порядка в кубической сингонии нет.

1.3 Простые формы кристаллов

Названия геометрических фигур в кристаллографии несколько отличаются от фигур в геометрии. Это связано с тем, что в кристаллографии учитывается структура вещества кристалла.

Простой формой кристалла называется совокупность граней, связанных элементами симметрии. Различается несколько типов простых форм (табл.1):

· Открытые формы - такие формы, грани которых не полностью ограничивают пространство. Примерами таких форм являются: моноэдр, диэдр, пинакоид, призмы и пирамиды.

· Замкнутые формы - такие формы, грани которых полностью ограничивают пространство. Примерами таких форм являются:

. дипирамиды, трапецоэдры, скаленоэдры, тетраэдры, все простые

формы кубической сингонии.

· Конгруэнтные формы - это совместимые формы. Примеры: гексаэдр, октаэдр, призмы, пирамиды.

· Энантиоморфные формы - зеркально совместимые формы правые и левые. Примеры: ромбический тетраэдр, трапецоэдры, пентагонтриоктаэдр, тетрагонтриоктаэдр.

· Постоянными формами - называются такие формы, грани котороых образуют постоянные углы и постоянные символы. Пример: гексаэдр, октаэдр, кубический тетраэдр.

· Переменными формами - называются формы, грани которых образуют переменные углы и переменные символы. Примерами могут быть пирамиды, дипирамиды, ромбоэдр, тетраэдр.

1.3.1 Простые формы низшей категории

Таблица 1

Таблица 2

Определение простых форм средней категории

Рис. 2. Простые формы кристаллов средней категории:

1-6 пирамиды: 1-тригональная, 2-дитригональная, 3-тетрагональная,

4-дитетрагональная, 5-гексагональная, 6-дигексагональная;

7-12 дипирамиды: 7-тригональная, 8-дитригональная, 9-тетрагональная, 10-дитетрагональная, 11-гексагональная, 12-дигексагональная;

13-25 призмы; 13-тригональная, 14-дитригональная, 15-тетрагональная, 16-дитетрагональная, 17-гексагональная, 18-дигексагональная, 19-тригональный трапецоэдр, 20-тетраэдр, 21-тетрагональный трапецоэдр, 22-ромбоэдр, 23-гексагональный трапецоэдр, 24-тетрагональный скаленоэдр, 25-тригональный скаленоэдр

1-го рода - координатные оси совмещаются с осями симметрии, выходящими на ребрах;

2-го рода - координатные оси совмещаются с осями симметрии, выходящими из середины граней.

В ТРИГОНАЛЬНОЙ и ГЕКСАГОНАЛЬНОЙ СИНГОНИЯХ установка производится по 4-м осям, причем IV ось совмещается с осью 3го или 6-го порядка, а первые три с осями 2-го порядка через 120? друг к другу. Здесь также возможны два рода установки:

1-го рода, когда за I, II, III оси выбираются оси, выходящие на ребрах;

2-го рода, когда оси, выходящие на серединах граней, принимаются за I, II,III оси.

В КУБИЧЕСКОЙ СИНГОНИИ для кристаллов кубического облика установка производится по осям 4-го порядка, для кристаллов тетраэдрического облика по осям Li4 или, что то же самое, L2, в кристаллах пентагондодекаэдрического облика - по осям 2-го порядка. Система координат прямоугольная.

1.5 Построение стереографической проекции кристалла

Графическое изображение кристалла на плоскости производится построением стереографической проекции. Для этого кристалл измеряют на гониометре. По составу кристалла определяют минерал, его слагающий. Кристалл помещают внутрь сферы, к его всем граням проводят нормали до пересечения со сферой. Для нанесения проекций граней верхней половины кристалла выбирается точка зрения на южном полюсе сферы. Точки пересечения нормалей верхней половины сферы соединяются с южным полюсом, а точки пересечения линий соединения концов нормалей с экваториальной плоскостью - проекции граней верхней половины кристаллов. Следует отметить, что горизонтальные грани, перпендикулярные оси Z, будут иметь нормали, пересекающие сферу на северном полюсе, и проекции в центре круга проекции. Вертикальные грани будут иметь нормали, лежащие в плоскости экватора, и их проекции будут лежать на круге проекций. Наклонные грани будут иметь проекции между центром и кругом проекции.

Для нанесения проекции граней нижней половины кристалла, точка зрения переносится с южного полюса на северный. Концы нормалей, пересекающие сферу, соединяются с полюсом, и точки пересечения линий с плоскостью проекции будут проекцией граней нижней половины кристалла. В отличие от проекций граней верхней половины кристалла, которые отмечаются кружочками, проекции нижней половины граней кристалла отмечаются на проекции крестиками. Это принцип построения стереографической проекции (рис.4).

Последовательность построения стереографической проекции кристалла по конкретным данным измерения следующая:

· измеряются углы между гранями кристалла на гониометре;

· проекции граней наносятся на кальку, наложенную на сетку Вульфа (приложение 5), с учетом элементов симметрии кристалла;

· выбирается единичная или масштабная грань;

· недостающие грани определяются методом пересечения зон по закону Вейса;

· с имеющимися элементами симметрии и по осям наиболее развитых зон, наносятся выходы кристаллографических осей;

· определяются углы между нормалями граней и соответствующими координатными осями;

· по таблице тригонометрических величин определяются косинусы углов;

· значения углов, косинусов искомой и единичной грани заносятся в таблицу;

· берутся отношения косинусов искомой грани к косинусам единичной грани и заносятся в таблицу.

· общий знаменатель выносится за скобки и отбрасывается. При этом учитывается, что определение углов на стереографической сетке, производится с точностью до 1?;

· Все данные заносятся в таблицу (см. "Расчет символов граней кристалла ортоклаза" и табл.5).

по данным измерения углов на гониометре (табл. 5)

К[Al Si3O8].

Сингония моноклинная.

Элементы симметрии - L2PC

Результаты измерения углов между гранями:

m11 m1 mm111 - 61? 13?

cm - 67? 47? Единичная грань "0"

у cx - 50? 16?

cу - 80? 18?

01 0 cn - 44? 56?

xo - 26? 52?

в n1 c n в

m111 m

вид сверху

Таблица 5

Простые формы:

пинакоид в - {0 1 0}

пинакоид с - {0 0 1}

пинакоид х - { 0 1}

пинакоид у - { 0 1}

призма ромбическая m - {1 1 0}

призма ромбическая n - {0 2 1}

призма ромбическая о - { 1 1}

y

x

o1 o

в1 III в

n1 n

с

m

m111 Х I

Рис.4 Стереографическая проекция кристалла ортоклаза

Простые формы:

пинакоид в {0 1 0}

пинакоид с {0 0 1}

пинакоид х { 0 1}

пинакоид у {0 1}

призма ромбическая m {1 2 0}

призма ромбическая n {0 2 1}

призма ромбическая о { 1 1}

1.6 Определение символов граней, ребер и простых форм

На основе построения стереографических проекций кристалла определяются символы граней. Символы граней - это математическое выражение граней, с которыми можно делать определенные математические операции. На основе закона Р.Ж.Гаюи определяются символы граней. Двойные отношения параметров, отсекаемые двумя гранями кристалла на трех его пересекающихся ребрах, относятся между собой как малые и целые числа. Три ребра - это координатные оси, выбираемые по рядам пространственной решетки. Одна из граней выбирается как масштабная, символы любой другой грани определяются по отношению к масштабной. Масштабную или единичную грань можно выбрать самым наивыгодным образом, но искомая грань может быть параллельна одной или даже двум координатным осям, и тогда отношение отсекаемых параметров будет иметь вид:

 Cх Ш

С1 ОАх : ОВх : ОСх = ОАх : ?__ : ОСх

О ОА1 ОВ1 ОС1 ОА1 ОВ1 ОС1

В1

А1

Ах

II

I

Второй член этого соотношения - неопределенность - неудобное число. Поэтому Миллером было предложено брать обратные отношения - числа - все равноотносительные.

Запишем это уравнение в другой форме:

ОАх = а m ОА1 = а r

ОВх = в ОВ1 = в s

ОСх = с р ОС1 = с t

ОА1 : ОВ1 : ОС1 = а r : в s : с р = r : s : р = r : 0 : t =

ОАх ОВх ОСх а m в с t m t m p

(r p : 0 : m t) = (h : 0 : )

Отношение целого числа к бесконечности определяется как нуль, который указывает, что искомая грань параллельна второй оси. Если искомая грань параллельна третьей оси, то символ будет иметь вид (h : k : 0), параллельно двум осям (h : 0 : 0). Для переменных форм: углы между гранями, которые мы не измеряли и пока не можем рассчитать, обозначаются буквами. Для постоянных форм: углы между гранями постоянные, символы выглядят следующим образом: грань гексаэдра - {1 0 0}, грань ромбододекаэдра - {1 1 0}, грань кубического тетраэдра - {1 1 1}.

Для переменных форм: ромбическая призма - {h k 0}, ромбическая пирамида - {h k }, ромбический тетраэдр -{h k }. Символы ребер, в отличие от символов граней, определяются прямыми отношениями. Так, например, символ первой координатной оси или ребра, параллельного этой оси, определяется как [1 0 0]. Символ ребра , лежащего в плоскости первой и второй оси, но перпендикулярно третьей, - [1 1 0]. Символ диагонали куба тогда определится как [1 1 1].

Символы ребер заключаются в квадратные скобки, в отличие от символов граней, которые всегда обозначаются в круглых скобках.

Символы простых форм являются обобщенными символами всех граней этих форм. Например: символы граней гексаэдра, конкретным образом расположенных по отношению к координатным осям, обозначаются так: (1 0 0), (0 1 0), (0 0 1), ( 0 0), (0 0), (0 0 ).

Все шесть граней пересекают положительные или отрицательные концы осей и имеют разные символы.

Символ простой формы гексаэдра должен отражать особенность этой формы, и достаточно взять символ положительной грани и заключить его в фигурные скобки, чтобы сказать, что это обобщенный символ гексаэдра - {1 0 0}. Хотите знать конкретное положение граней по отношению к координатным осям, смотрите символы граней в круглых скобках, где определено место единицы, где отмечены отрицательные и положительные пересечения осей.

Если по теореме косинусов Г.В.Вульфа рассчитаны символы граней, то можно при помощи определенных методов определить символы других граней и ребер.

По закону Гольдшмидта при наличии символов двух граней можно определить символ третьей грани, притупляющей ребро этих граней, принадлежащих одной зоне.

 Символ такой грани, по закону Гольдшмидта -

n p(1 0 2) - определяется как их алгебраическая сумма:

m n p (1 0 2)

r s t h k + r s t +(3 0)

(3 0) h k (4 2)

Способ Вейса

Заключается в том, что если имеется символ двух граней, можно определить символ ребра.

[h k ] r s t r s t

m n p m n p

(m n p) (s p - t n) : (t m - r p) : (r n - s m) = [h k ]

(r s t) Этот способ применим и к обратному варианту:

(h k ) известно два ребра, и по их значениям можно

определить символ граней, вмещающие эти

ребра

[r s t]

[m n p]

r s t r s t

m n p m n p

[(s p - t n)] : (t m - r p) (r n - s m) = (h k )

Заключение

На моделях кристаллов студент знакомится с элементами симметрии и формами кристаллов, с 32мя видами симметрии, сгруппированными в 7 сингоний и 3 категории, познает закон симметрии и получает представление о большом разнообразии в "царстве" кристаллов.

Библиографический список

1. Попов Г.М., Шафрановский И.И. Кристаллография. М.: Высшая школа, 1964. 352 с.

2. Шаскольская М.П. Кристаллография. М.: Высшая школа, 1976. 392 с.

3. Флинт Е.Е. Практическое руководство по геометрической кристаллографии. М.: Госгеолтехиздат, 1956.

4. Шубников А.В. Кристаллография. М.: 1956. Т.1.

5. Гумилевский С.А., Киршон В.М., Луговской Г.П. Кристаллография и минералогия. М.: Высшая школа, 1972. 607 с.

Приложение 1

2. Планальный вид,

ромбическая сингония,

низшая категория

3. а.моноэдр открытая, постоянная

б) диэдр открытая, переменная

в) пинакоид открытая, постоянная формы

г) призма ромбическая открытая, переменная

д) призма ромбическая открытая, переменная

(h ) (h k )

4. 5. б = в = г = 90? 6. в

д д а0 ? в0 ? с0

а : 1 : с г

г

(1 0 0)

II

г в г

г г

б б

(0 ) (0 k ) в

а I

(0 0 )

7. Символы простых форм:

а) моноэдр {0 0 }

6) диэдр {0 k }

в) пинакоид {1 0 0}

г) ромбическая призма {h k 0}

д) ромбическая пирамида { h k }

Приложение 3

ПРИМЕР ОПИСАНИЯ МОДЕЛИ СРЕДНЕЙ КАТЕГОРИИ

1. L33L23PC

2. Планаксиальный вид,

тригональная сингония,

средняя категория.

3. а) призма гексагональная открытая, постоянная формы

б) ромбоэдр замкнутая, переменная

L3=IV

4. 5. г = 90? 6.

б = в = д = 120? III

L2=III а0 = в0 =d0 ? с0 а

1 : 1 : 1 : с

а а

L2=II

L2=I

I а а а II

7 Символы простых форм:

Призма гексагональная {1 1 0

ромбоэдр {1 0 }

Для ромбоэдра Для гексагональной призмы

III ( 0 1 ) III

(0 ) (1 0 )

II

(1 0 ) (0 1 ) I II

(1 0 )

? ?

Приложение 4

ПРИМЕР ОПИСАНИЯ МОДЕЛИ КРИСТАЛЛА ВЫСШЕЙ КАТЕГОРИИ

1. 3L44L36L29PC

2. планаксиальный вид

кубическая сингония

высшая категория

3. а) гексаэдр замкнутая, постоянная

б) октаэдр замкнутая, постоянная формы

в) ромбододекаэдр замкнутая, постоянная

L4 = III 5. б = в = г = 90?

а0 = в0 = с0

1 : 1 : 1 6.

4. а

а (0 0 1) в

(1 1) в в

б в(1 0 1) б (1 1 1)

а L4 = II

в а в (0 1 0)

(1 0) (1 0 0) а а II

б б (1 1 0)

(1 )

L4 = I в в

а

I

7. Символы простых форм:

а) гексаэдр {1 0 0}

б) октаэдр {1 1 1}

в) ромбододэкаэдр {1 1 0}

Приложение 5

Сетка Вульфа

Приложение 6

32 Точечные группы симметрии кристаллов

Кристаллография и минералогия