Линейное программирование: решение задач графическим способом

Линейное программирование: решение задач графическим способом

Министерство Образования Российской Федерации

Тюменский Государственный Нефтегазовый Университет филиал в городе Ишиме

Курсовая работа по программированию на тему:

Линейное программирование: решение задач графическим методом

Выполнил:

студент 1 курса

АиУ-02. Афанасьев В. Ю.

Проверил:

Андреенко О.В.

Дата сдачи « » июня 2003г.

Оценка_______________

Подпись______________

Ишим 2003

Содержание:

Введение 3

Гл 1Математические основы решения задачи линейного программирования

графическим способом 4

1.1 Математический аппарат 4

1.2 Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования. 5

1.3 Этапы решения графического метода задач линейного программирования 7

Гл 2 Решение задач линейного программирования графическим способом на ЭВМ

15

2.1 Описание работы программы 15

2.1 Текст программы 20

Заключение 29

Литература 31

Рецензия 33

Введение

Линейное программирование - это наука о методах исследования и

отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные

которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного

программирования относятся к задачам на условный экстремум функции.

Казалось бы, что для исследования линейной функции многих переменных на

условный экстремум достаточно применить хорошо разработанные методы

математического анализа, однако невозможность их использования можно

довольно просто проиллюстрировать.

Действительно, путь необходимо исследовать на экстремум линейную

функцию

Z = С1х1+С2х2+... +СNxN

при линейных ограничениях

a11x1 + a22x2 + ... + a1NХN = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2NХN = b2

. . . . . . . . . . . . . . .

aМ1x1 + aМ2x2 + ... + aМNХN = bМ

Так как Z - линейная функция, то Z = Сj, (j = 1, 2, ..., n), то все

коэффициенты линейной функции не могут быть равны нулю, следовательно,

внутри области, образованной системой ограничений, экстремальные точки не

существуют. Они могут быть на границе области, но исследовать точки границы

невозможно, поскольку частные производные являются константами.

Для решения задач линейного программирования потребовалось создание

специальных методов. Особенно широкое распространение линейное

программирование получило в экономике, так как исследование зависимостей

между величинами, встречающимися во многих экономических задачах, приводит

к линейной функции с линейными ограничениями, наложенными на неизвестные.

Гл 1Математические основы решения задачи линейного программирования

графическим способом

1.1 Математический аппарат

Для понимания всего дальнейшего полезно знать и представлять себе

геометрическую интерпретацию задач линейного программирования, которую

можно дать для случаев n =2 и n =3.

Наиболее наглядна эта интерпретация для случая n =2, т.е. для случая

двух переменных [pic]и [pic]. Пусть нам задана задача линейного

программирования в стандартной форме

|[pic] |(1.1|

| |9) |

[pic]

Возьмём на плоскости декартову систему координат и каждой паре чисел

[pic]поставим в соответствие точку на этой плоскости.

[pic]

Обратим прежде всего внимание на ограничения [pic]и [pic]. Они из всей

плоскости вырезают лишь её первую четверть (см. рис. 1). Рассмотрим теперь,

какие области соответствуют неравенствам вида [pic]. Сначала рассмотрим

область, соответствующую равенству [pic]. Как Вы, конечно, знаете, это

прямая линия. Строить её проще всего по двум точкам.

Пусть [pic]. Если взять [pic], то получится [pic]. Если взять [pic], то

получится [pic]. Таким образом, на прямой лежат две точки [pic]и [pic].

Дальше через эти две точки можно по линейке провести прямую линию (смотри

рисунок 2).

[pic]

Если же b=0, то на прямой лежит точка (0,0). Чтобы найти другую точку,

можно взять любое отличное от нуля значение [pic]и вычислить

соответствующее ему значение [pic].

Эта построенная прямая разбивает всю плоскость на две полуплоскости. В

одной её части [pic], а в другой наоборот [pic]. Узнать, в какой

полуплоскости какой знак имеет место проще всего посмотрев, какому

неравенству удовлетворяет какая-то точка плоскости, например, начало

координат, т.е. точка (0,0).

1.2 Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.

Рассмотрим задачу ЛП в стандартной форме записи:

max f(X) = с1х1 + с2х2 + ... + спхп (*)

при ограничениях

а11х1 + а12х2 + … + а1nхn ? b1

а21х1 + а22х2 + … + а2nхn ? b2

……………………………..

аm1х1 + аm2х2 + … + аmnхn ? bm

хj ? 0, j = 1, 2, …, n.

Рассмотрим эту задачу на плоскости, т.е. при п = 2. Пусть система

неравенств (**), (***) совместна (имеет хотя бы одно решение):

а11х1 + а12х2 ? b1

а21х1 + а22х2 ? b2

…………..

аm1х1 + аm2х2 ? bm

x1 ? 0; х2 ? 0.

Каждое неравенство этой системы геометрически определяет полуплоскость

с граничной прямой аi1х1 + аi2х2 ? bi i = 1, m. Условия неотрицательности

определяют полуплоскости соответственно с граничными прямыми x1 = 0; х2 =

0.. Система совместна, поэтому полуплоскости, как выпуклые множества,

пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и

представляет собой совокупность точек, координаты каждой из которых

составляют решение данной системы. Совокупность этих точек называют

многоугольником решений. Это может быть точка, отрезок, луч, замкнутый

многоугольник, неограниченная многоугольная область.

Если в системе ограничений (**) - (***) n = 3, то каждое неравенство

геометрически представляет полупространство трехмерного пространства,

граничная плоскость которого аi1х1 + аi2х2 + аi3х1 ? bi, а условия

неотрицательности — полупространства с граничными плоскостями

соответственно xi = 0 (i = 1, 2, 3). Если система ограничений совместна, то

эти полупространства, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют в

трехмерном пространстве общую часть, которая называется многогранником

решений.

Пусть в системе (**) - (***) п > 3, тогда каждое неравенство определяет

полупространство n-мерного пространства с граничной гиперплоскостью аi1х1 +

аi2х2 + … + аinхn ? bi i = 1, т , а условия неотрицательности —

полупространства с граничными гиперплоскостями xj = 0, j = 1, n.

Если система ограничений совместна, то по аналогии с трехмерным

пространством она образует общую часть n-мерного пространства, называемую

многогранником решений, так как координаты каждой его точки являются

решением.

Таким образом, геометрически задача линейного программирования

представляет собой отыскание такой точки многогранника решений, координаты

которой доставляют линейной функции минимальное значение, причем

допустимыми решениями служат все точки многогранника решений.

1.3 Этапы решения графического метода задач линейного программирования

Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи

линейного программирования и применяется в основном при решении задач

двумерного пространства и только некоторых задач трехмерного пространства,

так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется

в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности

больше трех изобразить графически вообще невозможно.

Пусть задача линейного программирования задана в двумерном

пространстве, т. е. ограничения содержат две переменные.

Если в ЗЛП ограничения заданы в виде неравенств с двумя переменными,

она может быть решена графически. Графический метод решения ЗЛП состоит из

следующих этапов.

Этап 1.

Сначала на координатной плоскости x1Ox2 строится допустимая

многоугольная область (область допустимых решений, область определения),

соответствующая ограничениям:

|[pic] |(1.3|

| |1) |

Не приводя строгих доказательств, укажем те случаи, которые тут могут

получится.

1. Основной случай - получающаяся область имеет вид ограниченного

выпуклого многоугольника (рис. 3а)).

2. Неосновной случай - получается неограниченный выпуклый многоугольник,

имеющий вид, подобный изображенному на рис. 3.б. Подобная ситуация,

например, получится, если в рассмотренном выше примере убрать

ограничение [pic]. Оставшаяся часть будет неограниченным выпуклым

многоугольником.

[pic]

Наконец, возможен случай, когда неравенства (1.31) противоречат друг

другу, и допустимая область вообще пуста.

Рассмотрим теорию на конкретном примере:

Найти допустимую область задачи линейного программирования,

определяемую ограничениями

|[pic] |(1.3|

| |2) |

[pic]

Решение:

1. Рассмотрим прямую [pic]. При [pic], а при [pic]. Таким образом, эта

прямая проходит через точки (0,1) и (-1,0). Беря [pic]получим, что

-0+0=0 then

repeat

if (Frac(N.b / k) = 0) then begin

if (Frac(N.y / k) = 0) then

if (j=k) then begin

N.b:=N.b / k;

N.x:=N.x / k;

N.y:=N.y / k;

Break;

end

end;

k:=k-1;

until (k0) and (N.y<>0); {Ограничение чтоб небыло нулей}

Inc(i); {Увеличиваем счетчик}

Matr[i]:=N;{Добавляем в матрицу коэффициенты}

ShowLine(N);{Вызываем процедуру рисования линии}

SetFillStyle(1,0); Bar(0,0,GetMaxX,MaxY-1);

OutTextXY(7,3,'Ввести еще? (Enter=Да/Esc=Нет)');

End;

var

Key:Char;

Begin

GetNerav;

repeat

key:=#0;

if KeyPressed then begin

key:=ReadKey;

case key of

#13: GetNerav;{ввод еще одного нер-ва}

end;

end;

Until Key in [#27];{до нажатия Esc}

End;

procedure EnterMainF;

{эта процедура предлагает выбрать пользователю выбрать выход из ОДЗ}

var key: Char;

j: 0..100;

S: String;

Begin

SetFillStyle(3,1); FloodFill(MinX+1, MinY-1, 15);

SetFillStyle(1,0); Bar(0,0,GetMaxX,MaxY-1);

SetColor(White);

OutTextXY(7,3,'Введите коэффициенты целевой функции: ');

Window(40,1,80,25); Read(MainF.x, MainF.y);

End;

procedure GetResult;

var

k,j: 0..100;

X: Real;

Y: Real;

XTmp: Real;

YTmp: Real;

cTmp: Real;

boolAnswer: Boolean;

key: Char;

STmp: String;

Result: String;{Строка для вывода на экра результата}

procedure SolveOprtel(inN, inMainF: TNerav; ic:Real; var outX, outY:

Real);

{в этой подпроцедуре подностью вычисляется определитель}

var

_d: Real;{Дельта определителя}

dx: Real;{Дельта X определителя}

dy: Real;{Дельта Y определителя}

Begin

_d:=(inN.x*(inMainF.y)) - (inN.y*inMainF.x);

dx:=(inN.b*(inMainF.y)) - (inN.y*ic);

dy:=(inN.x*ic) - (inN.b*inMainF.x);

if _d <> 0 then begin{исклюсаем бесчисленное мн-во решений}

outX:=dx/_d;

outY:=dy/_d;

end;

if (_d = 0) and ((dx = 0) xor (dy = 0)) then begin{исклюсаем - нет

решений}

SetColor(Red);

OutTextXY(300,230,'Нет решений!!!');

ReadKey;

CloseGraph;

Halt;

end;

End;

Begin

Bar(0,0,GetMaxX,MaxY-1);

SetColor(White);

OutTextXY(7,3,'Пожалуйста подождите... (Esc - Отмена)');

{считаем координаты выхода}

c:=0;

cTmp:=0;

repeat

if i=1 then SolveOprtel(Matr[1], MainF, c, XResult, YResult)

else

for j:=1 to i-1 do begin

SolveOprtel(Matr[j], MainF, c, XTmp, YTmp);

for k:=j+1 to i do begin

SolveOprtel(Matr[k], MainF, c, X, Y);

if X=XTmp then XResult:=X;

if Y=YTmp then YResult:=Y;

end;

end;

{далее мы находим максимум функции}

BoolAnswer:=False;

for k:=1 to i do begin

N:=Matr[k];

if (N.x*XResult+N.y*YResultN.b) then begin Exit

end;

end;

cTmp:=cTmp+STEP;{Увеличиваем cTmp на STEP}

if keyPressed then key:=ReadKey;{если Esc нажата, то прерываем}

until (key=#27) or (cTmp>=10000);

if boolAnswer then begin

{пишем ответ:}

{1. Рисуем целевую ф-ю в нужном месте}

c:=MainF.x*XResult+MainF.y*YResult;

MoveTo(MinX+1,MinY-Round(C/MainF.y*MASHT)-1);

SetColor(Red);{рисуем целевую линию на экр. красным}

LineTo(MinX+Round(C/MainF.x*MASHT)+1,MinY-1);

SetLineStyle(1,0,NormWidth);

SetColor(Yellow);

{2. Считаем max(f)}

Str(MainF.x*XResult+MainF.y*YResult:2:1,STmp);

Result:='max(f)='+Stmp;

{3. Рисуем значение на оси X}

Line(MinX+Round(XResult)*MASHT,MinY-

Round(YResult)*MASHT,MinX+Round(XResult)*MASHT,MinY+3);

Str(XResult:2:1,STmp);

OutTextXY(MinX+Round(XResult)*MASHT,MinY+4,STmp);

Result:=Result+' при x='+Stmp;

{4. Рисуем значение на оси Y}

Line(MinX+Round(XResult)*MASHT,MinY-Round(YResult)*MASHT,MinX-3,MinY-

Round(YResult)*MASHT);

Str(YResult:2:1,STmp);

OutTextXY(MinX-30,MinY-Round(YResult)*MASHT,STmp);

Result:=Result+' y='+Stmp;

SetColor(White);

SetLineStyle(0,0,NormWidth);

OutTextXY(300,230,Result);{Выводим строку ответа}

end

else

OutTextXY(7,3,'Вычисления не закончены!!!');

{Завешение программы}

Bar(0,0,GetMaxX,MaxY-1);

SetColor(White);

OutTextXY(7,3,'Нажмите любую клавишу для выхода');

ReadKey;

End;

BEGIN

i:=0;{Начальное значение кол-ва неравенств}

Gd:=Detect;

InitGraph(Gd, Gm, 'C:\BP\BGI'); { Путь к BGI драйверам }

if GraphResult <> grOk then Halt(1);

ShowXOY;

EnterNerav;

EnterMainF;

GetResult;

CloseGraph;

END.

Заключение

Программа решения задач линейного программирования графическим способом

на IBM PC была написана на языке Borland Pascal 7.1. В ней, для удобства,

рассматривается случай когда количество переменных равно двум т. е. решение

задачи можно разместить на плоскости. С помощью этой программы можно

наглядно продемонстрировать метод графического решения задач.

Вообще, с помощью графического метода может быть решена задача

линейного программирования, система ограничений которой содержит n

неизвестных и m линейно независимых уравнений, если N и M связаны

соотношением N – M = 2.

Действительно, пусть поставлена задача линейного программирования.

Найти максимальное значение линейной функции

Z = С1х1+С2х2+... +СNxN

при ограничениях

a11x1 + a22x2 + ... + a1NХN = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2NХN = b2

. . . . . . . . . . . . . . .

aМ1x1 + aМ2x2 + ... + aМNХN = bМ

xj ? 0 (j = 1, 2, ..., N)

где все уравнения линейно независимы и выполняется cоотношение N - M =

2.

Используя метод Жордана-Гаусса, производим M исключений, в результате

которых базисными неизвестными оказались, например, M первых неизвестных

х1, х2, ..., хM, а свободными - два последних: хМ+1, и хN, т. е. система

ограничений приняла вид:

x1 + a1,М+1xМ+1 + a1NХN = b1

x2 + a2,М+1xМ+1 + a2NХN = b2

. . . . . . . . . . . .

xМ + aМ, М+1x2 + aМNХN = bМ

xj ? 0 (j = 1, 2, ..., N)

С помощью уравнений преобразованной системы выражаем линейную функцию

только через свободные неизвестные и, учитывая, что все базисные

неизвестные - неотрицательные: хj ? 0 (j = 1, 2, ..., M), отбрасываем их,

переходя к системе ограничений, выраженных в виде неравенств.

Литература

1. Абрамов Л.М., Капустин В.Ф. Математическое программирование. Л., Изд-

Ленингр. ун-та, 1976. - 184 с.

2. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах:

Учеб. пособие - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Высш. шк. ,1993 - 336 с.

3. Ашманов С.А.Линейное программирование. - М.: Наука, 1981.

4. Баканов М.И., Шеремет А.Д. Теория экономического анализа: Учебник. -4-

е изд., доп. и перераб. - М.: Финансы и статистика, 2000. - 416 с.

5. Баканов М.И., Шеремет А.Д.Экономический анализ: ситуации, тесты,

примеры, задачи, выбор оптимальных решений, финансовое прогнозирование:

Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 1999. -656 с.

6. Банди Б. Основы линейного программирования: Пер. с англ. - М.: Радио и

связь, 1989. -176 с.

7. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы линейного программирования. Ч.1.

Общие задачи, Минск, Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1977. - 176 с.

8. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы линейного программирования. Ч.2.

Транспортные задачи, Минск, Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1977. - 240 с.

9. Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математические методы и

модели для менеджмента - СПб.: Издательство “Лань”, 2000. -480 с.

10. Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Линейное программирование,теория, методы и

приложения. - М.: Наука, 1969.

11. Гасс С.Линейное программирование. - М.: Физматгиз, 1961.

12. Заварыкин В. М. и др. Численные методы: Учеб. пособие для студентов

физ.-мат. спец. пед. ин-тов / В.М. Заварыкин, В.Г. Житомирский, М.П.

Лапчик. - М.: Просвещение, 1990. - 176 с

13. .Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика.

Математическое программирование. /Под общ. ред. проф. Кузнецова А.В.,

М., “ВЫШЭЙШАЯ ШКОЛА”, 1994. - 288 с.

14. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое

программирование: Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб и доп. - М.: Высш.

школа, 1980. -300 с.

15. Ляшенко И.Н, Карагодова Е.А, Черникова Н.В., Шор Н.З. Линейное и

нелинейное программирование. Издательское объединение “Вища школа”,

1975. - 372 с.

16. Пер. с яп. /М. Кубонива, М. Табата, С. Табата, Ю. Хасэбэ, под ред. М.

Кубонива. Математическая экономика на персональном компьютере: - М.:

Высш. школа, 1980.

17. Под ред и с предисл. Е.З. Демиденко – М.: Финансы и статистика, 1991.

– 304 с.

18. Солодовников А.С. Введение в линейную алгебру и линейное

программирование. М., Изд. “Просвещение”, 1966. - 184 с.

19. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования: В 2-х

т. Т.1: Пер с англ. - М.: Мир, 1991. -360 с.

20. Тынкевич М.А. Экономико-математические методы (исследование

операций). Изд. 2, испр. и доп. - Кемерово, 2000. - 177 с.

Рецензия

-----------------------

(**)

(***)

Рис. 3

б)

а)

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9