Реляционное исчисление

Реляционное исчисление

Содержание.

1. Введение.

2. Исчисление кортежей.

2.1. Синтаксис.

2.2. Переменные кортежей.

2.3. Свободные и связанные переменные кортежей.

2.4. Кванторы.

2.5. Ещё раз о сводных и связанных переменных.

2.6. Реляционные операции.

2.7. Примеры

3. Сравнительный анализ реляционного исчисления и реляционной алгебры.

4. Вычислительные возможности.

4.1. Примеры

5. Исчисление доменов.

5.1. Примеры

6. Средства языка SQL.

6.1. Примеры

7. Заключение.

8. Список литературы.

1.Введение.

Часть реляционной модели, которая связана с операторами

манипулирования данными, основывается на использовании реляционной алгебры.

Однако с тем же основанием можно сказать, что она построена на базе

реляционного исчисления. Другими словами, реляционная алгебра и реляционное

исчисление представляют собой два альтернативных подхода. Принципиальное

различие между ними следующее. Реляционная алгебра в явном виде

представляет набор операций (соединение, объединение, проекция и т.д.),

которые можно использовать, чтобы сообщить системе, как в базе данных из

определённых отношений построить некоторое требуемое отношение, а

реляционное исчисление просто представляет систему обозначений для

определения требуемого отношения в терминах данных отношений.

Например, рассмотрим три отношения:

> S-поставщики, каждый поставщик имеет уникальный номер (S#); имя (SNAME);

значение рейтинга или статуса (STATUS); место расположения (CITY).

Предполагается, что каждый поставщик находится только в одном городе.

> P-детали, у каждого вида детали есть уникальный номер (P#); название

детали (PNAME); цвет (COLOR); вес (WEIGHT); город, где хранится этот вид

деталей (CITY). Каждый отдельный вид детали имеет только один цвет и

хранится на складе только в одном городе.

> SP-поставки, служит для организации логической связи двух других

отношений. Например, первая строка отношения SP связывает поставщика с

номером ‘S1’ из отношения S с соответствующей деталью, имеющей номер ‘P1’

в отношении P, т.е. представляет факт поставки деталей типа ‘P1’

поставщиком с номером ‘S1’ (а также указывает количество деталей-300

штук). Таким образом, каждая поставка характеризуется номером поставщика

(S#), номером детали (P#) и количеством (QTY). Предполагается, что в одно

и то же время может быть не более одной поставки для одного поставщика и

одной детали.

|S#|SNAME |STATUS |CITY |

|S1|Smith |20 |London|

|S2|Jones |10 |Paris |

|S3|Black |30 |Paris |

|S4|Clark |20 |London|

|S5|Adams |30 |Athens|

|S#|P#|QTY |

|S1|P1|300 |

|S1|P2|200 |

|S1|P3|400 |

|S1|P4|200 |

|S1|P5|100 |

|S1|P6|100 |

|S2|P1|300 |

|S2|P2|400 |

|S3|P2|200 |

|S4|P2|200 |

|S4|P4|300 |

|S4|P5|400 |

|P#|PNAME |COLOR |WEIGHT |CITY |

|P1|Nut |Red |12.0 |London|

|P2|Bolt |Green |17.0 |Paris |

|P3|Screw |Blue |17.0 |Rome |

|P4|Screw |Red |14.0 |London|

|P5|Cam |Blue |12.0 |Paris |

|P6|Cog |Red |19.0 |London|

Рассмотрим запрос «Выбрать номера поставщиков и названия городов,

в которых находятся поставщики детали с номером ‘P2’». Алгебраическая

версия этого запроса выглядит приблизительно так:

. Сначала выполнить соединение отношения поставщиков S и отношения поставок

SP по атрибуту S#.

. Далее выбрать из результата этого соединения кортежи с номером детали

‘P2’.

. И, наконец, выполнить для результата этой выборки операцию проекции по

атрибутам S# и CITY.

Этот же запрос в терминах реляционного исчисления формулируется

приблизительно так:

. Получить атрибуты S# и CITY для таких поставщиков, для которых в

отношении SP существует запись о поставке с тем же значением атрибута P#,

равным ‘P2’.

В этой формулировке пользователь лишь указывает определённые

характеристики требуемого результата, оставляя системе решать, что именно и

в какой последовательности соединять, проецировать и т.д., чтобы получить

необходимый результат.

Итак, можно сказать, что, по крайней мере, внешне формулировка

запроса в терминах реляционного исчисления носит описательный характер, а в

терминах реляционной алгебры - предписывающий. В реляционном исчислении

просто описывается, в чём заключается проблема, тогда как реляционной

алгебре задаётся процедура решения этой проблемы. Или, говоря очень

неформально, алгебра имеет процедурный характер (пусть на высоком уровне,

но всё же процедурный, поскольку задаёт необходимые для выполнения

процедуры), а исчисление – непроцедурный.

Подчеркнём, однако, что упомянутые отличия существуют только

внешне. На самом деле реляционная алгебра и реляционное исчисление

логически эквивалентны. Каждому выражению в алгебре соответствует

эквивалентное выражение в исчислении, и точно так каждому выражению в

исчислении соответствует эквивалентное выражение в алгебре. Это означает,

что между ними существует взаимнооднозначное соответствие, а различия

связаны лишь с разными стилями выражения; исчисление ближе к естественному

языку, а алгебра - к языку программирования; Но повторим еще раз, эти

различия только кажущиеся, а не реальные. В частности, ни один из подходов

нельзя назвать « более

непроцедурным « по сравнению с другим.

Реляционное исчисление основано на разделе математической логики,

который называется исчислением предикатов. Идея использования исчисления

предикатов в качестве основы языка баз данных впервые была высказана в

статье Кунса (Kuhns). Понятие реляционного исчисления, т.е.

специального применения исчисления предикатов, в реляционных базах данных,

впервые было предложено Коддом в 1972, а позже Кодд представил язык,

основанный непосредственно на реляционном исчислении и названный «

подъязык данных ALPHA». Сам язык ALPHA никогда не был реализован, однако

язык QUEL, который действительно был реализован и некоторое время

серьезно конкурировал с языком SQL , очень походил на язык ALPHA ,

оказавший заметное влияние на построение языка QUEL .

Основным средством реляционного исчисления является понятие

переменной кортежа (также называемой переменной области значений). Коротко

говоря, переменная кортежа – это переменная, «изменяющаяся на» некотором

заданном отношении, т.е. переменная, допустимыми значениями которой

являются кортежи заданного отношения. Другими словами, если переменная

кортежа V изменяется в пределах отношения r , то в любой заданный момент

переменная V представляет некоторый кортеж t отношения r. Например,

запрос «Получить номера поставщиков из числа тех, которые находятся в

Лондоне» может быть выражен на языке QUEL так:

RANGE OF SX IS S;

RETRIEVE (SX.S#) WHERE SX.CITY = “London”;

Переменной кортежа здесь является переменная SX, которая изменяется

на отношении, представляющем собой текущее значение переменной – отношения

S (оператор RANGE – оператор определения этой переменной). Оператор

RETRIEVE означает следующее: «Для каждого возможного значения переменной

SX выбирать компонент S# этого значения тогда и только тогда, когда его

компонент CITY имеет значение ‘London’».

В связи с тем, что реляционное исчисление основано на переменных

кортежа, его первоначальную версию (для отличия от исчисления доменов, речь

о котором пойдет ниже) называют также исчислением кортежей.

Замечание. Для удобства примем следующее соглашение: далее в этой

книге термины исчисление и реляционное исчисление, приведенные без

уточнения «кортежей» или «доменов», будут означать именно исчисление

кортежей (там, где это играет какую-то роль).

В статье Лакруа (Lacroix) и Пиротте (Pirotte) предлагается

альтернативная версия исчисления, называемая исчислением доменов, в

которой переменные кортежа изменяются на доменах, т.е. являются

переменными, изменяемыми на доменах, а не на отношениях. В литературе

предлагается множество языков исчисления доменов. Наиболее известный из

них – пожалуй, Query-By-Example, или QBE (в действительности он является

смешанным, так как в языке QBE присутствуют и элементы исчисления

кортежей). Существует несколько коммерческих реализаций этого языка.

2.Исчисление кортежей.

Сначала введем для реляционного исчисления конкретный синтаксис,

взяв за образец (хотя умышленно не совсем точно) версию исчисления языка

Titorial D, а затем перейдём к обсуждению семантики. В следующих ниже

подразделах обсуждаются синтаксис и семантика.

2.1.Синтаксис.

Замечание. Многие из приведенных здесь синтаксических правил не будут

поняты вам до тех пор, пока вы не изучите семантический материал,

следующий далее. Однако мы все же решили собрать все правила вместе для

удобства ссылок.

Начнем с повторения синтаксиса параметра .

< реляционное выражение>

:: = RELATION {}

| < имя переменной-отношения>

| < реляционная операция>

| < реляционное выражение>

Иными словами, синтаксис параметра

остается прежним, однако из наиболее важных его подпараметров, <

реляционная операция >, теперь будет иметь совершенно иное определение.

:: = RANGEVAR

RANGES OVER ;

Параметр может использоваться как

, однако, лишь в определенном контексте, а именно:

. перед точкой и последующим уточнением в параметре < ссылка на атрибут

кортежа >;

. сразу после квантора в параметре < логическое выражение с квантором>;

. как операнд в параметре < логическое выражение >;

. как параметр < прототип кортежа > или как (операнд) подпараметр <

выражение> в параметре < прототип кортежа >.

< ссылка на атрибут кортежа >

:: = .[ AS ]

Параметр может использоваться как

параметр < выражение>, но только в определенном контексте, а именно:

. как операнд параметра ;

. как параметр или как (операнд) подпараметр

в параметре .

< логическое выражение >

:: = … все обычные возможности вместе с:

| < логическое выражение с

квантором>

Ссылки на переменные кортежей в значении параметра < логическое

выражение > могут быть свободными в пределах этого параметра тогда и

только тогда, когда выполнено два следующих условия.

. Параметр < логическое выражение> расположен непосредственно после

параметра < реляционная операция> (т.е. параметр < логическое выражение >

следует сразу за ключевым словом WHERE.).

. Ссылка (обязательно свободная) именно на эту переменную кортежа

непосредственно присутствуют в значении параметра ,

непосредственно содержащегося в том же выражении (т.е. параметр располагается непосредственно

перед ключевым словом WHERE).

Замечание по терминологии. В контексте реляционного исчисления (в

версии исчисления доменов или исчисления кортежей) логические выражения

часто называют правильно построенными формулами (well-formed formulas –

WFF, что произносится как « вэфф»). Далее мы также будем часто пользоваться

этой терминологией.

< логическое выражение с квантором>

:: = EXISTS < имя переменной кортежа >(<

логическое выражение >)

| FORALL (<

логическое выражение >)

< реляционная операция >

:: = < прототип кортежа > [ WHERE < логическое

выражение >]

В реляционной алгебре параметр < реляционная операция >

представлял собой одну из форм параметра , однако

здесь он определяется иначе. Другие формы параметра < реляционное выражение

> (в основном, имена переменных – отношений и обращение к операторам

выбора) допустимы, как и ранее.

< прототип кортежа >

:: = < выражение кортежа>

Все ссылки на переменные кортежа, помещенные непосредственно в

значение параметра , должны быть свободными в пределах

данного параметра < прототип кортежа>.

Замечание. Прототип кортежа – термин удачный, но не стандартный.

2.2. Переменные кортежей.

Приведём несколько примеров определения переменных кортежей

(выраженных в контексте базы данных поставщиков и деталей).

RANGEVAR SX RANGES OVER S;

RANGEVAR SY RANGES OVER S;

RANGEVAR SPX RANGES OVER SP;

RANGEVAR SPY RANGES OVER SP;

RANGEVAR PX RANGES OVER P;

RANGEVAR SU RANGES OVER

(SX WHERE SX.CITY=’London’)

(SX WHERE EXISTS SPX (SPX.S# = SX.S# AND

SPX.P# SPX = P# (‘P1’) ) );

Переменная кортежа SU из последнего примера определена на объединении

множества кортежей поставщиков детали с номером ‘P1’. Обратите внимание,

что в определении переменной кортежа SU используются переменные кортежей SX

и SPX. Также обратите внимание на то, что в подобных определениях

переменных, построенных на объединении отношений, объединяемые отношения,

безусловно, должны быть совместимы по типу.

Замечание. Переменные кортежей не являются переменными в обычном

смысле (как в языках программирования); они являются переменными в

логическом смысле.

2.3. Свободные и связанные переменные кортежей.

Каждая ссылка на переменную кортежа (в некотором контексте, в

частности в формуле WFF) является или свободной, или связанной. Сначала

поясним это утверждение в чисто синтаксических терминах, а затем перейдем к

обсуждению его смысла.

Пусть V – переменная кортежа. Тогда имеем следующее.

. Ссылки на переменную V в формулах WFF типа NOT p свободны или связаны в

пределах этой формулы в зависимости от того, свободны ли они в формуле

p.Ссылки на переменную V в формулах WFF типа (p AND q) и (p OR q) свободны

или связаны в зависимости от того, свободны ли они в формулах p и q.

. Ссылки на переменную V, которые свободны в формуле WFF p, связаны в

формулах WFF типа EXISTS V(p) и FORALL V(p). Другие ссылки на переменные

кортежей в формуле p будут свободны или связаны в формулах WFF типа EXISTS

V(p) и FORALL V(p) в соответствии с тем, свободны ли они в формуле p.

Для полноты необходимо добавить следующие замечания.

. Единственная ссылка на переменную V в значении параметра является свободной в пределах этого параметра .

. Единственная ссылка на переменную V в значении параметра V.A является свободной в пределах этого параметра .

. Если ссылка на переменную V является свободной в некотором выражении exp,

то эта ссылка будет также свободной в любом выражении exp’,

непосредственно содержащем выражение exp как подвыражение, если только в

выражении exp’ не вводится квантор, связывающий переменную V.

Приведём несколько примеров формул WFF, содержащих переменные

кортежей.

. Простые сравнения

SX.S# = S# (‘S1’)

SX.S# = SPX.S#

SPX.P# ? PX.P#

Здесь все ссылки на переменные SX, PX и SPX являются свободными.

. Логические выражения из простых сравнений

PX.WEIGHT < WEIGHT (15.5) OR PX.CITY = ‘Rome’

NOT (SX.CITY = ‘London’)

SX.S# = SPX.S# AND SPX.P# ? PX.P#

PX.COLOR = COLOR (‘Red’) OR PX.CITY = ‘London’

Здесь также все ссылки на переменные SX,PX и SPX являются свободными.

. Формулы WFF с кванторами

EXISTS SPX (SPX.S# = SX.S# AND SPX.P# = P# (‘P2’) )

FORALL PX (PX.COLOR = COLOR (‘Red’) )

В этих примерах ссылки на переменные SPX и PX являются связанными, а

ссылка на переменную SX является свободной. Подробнее данные примеры

объясняются ниже.

2.4. Кванторы.

Существуют два квантора: EXISTS и FORALL. Квантор EXISTS является

квантором существования, а FORALL- квантором всеобщности. По сути, если

выражение p - формула WFF, в которой переменная V свободна, то выражения

EXISTS V (p)

и

FORALL V (p)

также являются допустимыми формулами WFF, но переменная V в них обеих

будет связанной. Первая формула означает следующее: «Существует по крайней

мере одно значение переменной V, такое, что вычисление формулы p даёт для

него значение истина». Вторая формула означает следующее: «Для всех

значений переменной V вычисление формулы p даёт значение истина».

Предположим, например, что переменная V изменяется на множестве «Члены

сената США в 1999 году», и предположим также, что выражение p - следующая

формула WFF: «V - женщина» (разумеется, здесь не пытаемся использовать

формальный синтаксис). Тогда выражение EXISTS V(p) будет допустимой

формулой WFF, имеющей значение истина (true); выражение FORALL V(p) также

будет допустимой формулой WFF, но вычисление его значения будет давать

значение ложь (false).

Теперь рассмотрим квантор существования EXISTS более внимательно. Ещё

раз обратимся к примеру из предыдущего раздела.

EXISTS SPX (SPX.S# = SX.S# AND SPX.P# = P# (‘P2’) )

Из приведённых ранее рассуждений следует, что эта формула WFF может

быть прочитана следующим образом.

В текущем значении отношения SP существует кортеж (скажем, SPX), такой,

для которого значение атрибута S# в этом кортеже равно значению атрибута

SX.S# (какое бы оно ни было), а значение атрибута P# в кортеже SPX равно

‘P2’.

Каждая ссылка на переменную SPX в этом примере является связанной.

Единственная ссылка на переменную SX свободна.

Формально квантор существования EXISTS определяется как повторение

операции OR (ИЛИ). Другими словами, если r - это отношение с кортежами t1,

t2, … , tm, V - это переменная кортежа, изменяющаяся на данном отношении, и

p(V) - это формула WFF, в которой переменная V используется как свободная

переменная, то формула WFF вида

EXISTS V (p (V))

равносильна следующей формуле WFF.

false OR p (t1) OR … OR p (tm)

В частности, обратите внимание, что если отношение R пустое (т.е.

m=0), то результатом вычисления данного выражения будет значение ложь.

Рассмотрим в качестве примера отношение r, содержащее следующие

кортежи.

(1, 2, 3)

(1, 2, 4)

(1, 3, 4)

Для простоты предположим, что три атрибута, идущие по порядку слева

направо, имеют имена A, B и C соответственно и каждый из этих атрибутов

имеет тип INTEGER. Тогда приведённые ниже выражения будут иметь указанные

значения.

EXISTS V (V.C>1) : true

EXISTS V (V.B>3) : false

EXISTS V (V.A>1 OR V.C = 4) : true

Теперь рассмотрим квантор общности FORALL, для чего вернёмся к

соответствующему примеру из предыдущего раздела.

FORALL PX (PX.COLOR = COLOR (‘Red’) )

Эта формула WFF может быть прочитана следующим образом.

В текущем значении отношения P для всех кортежей (скажем, PX) значение их

атрибута COLOR равно ‘Red’.

Обе ссылки на переменную PX в этом примере связаны.

Подобно тому, как квантор EXISTS был определён как повторение

операции OR, квантор существования FORALL определяется как повторяющаяся

операция AND (И). Другими словами, если обозначения r, V и p(V) имеют тот

же смысл, что и в приведённом выше определении квантора EXISTS, то формула

WFF вида

FORALL V (p (V) )

равносильна следующей формуле WFF.

true AND p (t1) AND … AND p (tm)

В частности, обратите внимание, что если отношение r пустое, то

результатом вычисления данного выражения будет значение истина.

В качестве примера рассмотрим отношение R, содержащее те же

кортежи, что и в предыдущем примере. Тогда приведённые ниже выражения будут

иметь указанные значения.

FORALL V (V.A>1) : false

FORALL V (V.B>1) : true

FORALL V (V.A = 1 and V.C>2) : true

Замечание. Квантор FORALL включён в реляционное исчисление просто

для удобства. Он не является необходимым, так как приведённое ниже

тождество показывает, что любая формула WFF, использующая квантор FORALL,

всегда может быть заменена эквивалентной формулой WFF, использующей квантор

EXISTS.

FORALL V (p) ? NOT EXISTS V (NOT p)

(Проще говоря, выражение «все значения V, удовлетворяющие формуле

p» - это то же самое, что и выражение «нет таких значений V, которые бы не

удовлетворяли формуле p».)

Например, утверждение (истинное)

Для любого целого x существует целое y, такое, что y>x

равносильно утверждению

Не существует целого x, такого, что не существует целого y, такого,

что y>x.

(Иначе говоря, не существует наибольшего целого числа.) Но обычно

легче выразить подобное утверждение в терминах квантора FORALL, чем в

терминах квантора EXISTS, с использованием двойного отрицания. Другими

словами, на практике гораздо удобнее использовать оба квантора.

2.5. Ещё раз о свободных и связанных переменных.

Предположим, что переменная x изменяется на множестве всех целых

чисел, и рассмотрим следующую формулу WFF.

EXISTS x (x>3)

Связанная переменная x в этой формуле WFF является своего рода

фиктивной переменной. Она служит лишь для связи внутренних параметров

выражения с внешним квантором. В формуле WFF просто утверждается, что

существует целое число (скажем, x), которое больше 3. Следовательно,

значение этой формулы WFF осталось бы полностью неизменным, если бы все

экземпляры x были заменены экземплярами некоторой другой переменной

(скажем, y). Другими словами, формула WFF EXISTS y (y>3) семантически

идентична формуле, приведённой ранее.

Теперь рассмотрим другую формулу WFF.

EXISTS x (x>3) AND x3) AND x3) AND y не совсем уместен в контексте

исчисления - более подходящим вариантом был бы параметр . Однако будем использовать именно первый вариант, и в качестве

напоминания приводим следующий синтаксис.

: : = [ WHERE ]

: : =

Напоминаем также, что следующие синтаксические правила теперь

несколько упрощены.

. Во-первых, все ссылки на переменные кортежей в параметре должны быть свободными в пределах значения этого параметра.

. Во-вторых, ссылка на переменную кортежа в предложении WHERE может быть

свободной только в случае, если на эту же переменную (обязательно

свободная) присутствует в соответствующем значении параметра .

Например, следующее выражение является допустимым значением

параметра («Получить номера поставщиков, находящихся

в Лондоне»).

SX.S# WHERE SX.CITY = ‘London’

Здесь ссылка на переменную SX в прототипе кортежа является

свободной. Ссылка на переменную SX в предложении WHERE также является

свободной, поскольку ссылка на ту же переменную (обязательно свободную)

имеется и в значении параметра этого выражения.

Замечание. Далее термин «прототип кортежа» будет употребляться без

скобок.

Приведём другой пример («Получить имена поставщиков детали с

номером ‘P2’»)

SX.SNAME WHERE EXISTS SPX (SPX.S# SX.S# AND

SPX.P#

= P# (‘P2’) )

Здесь все ссылки на переменную SX являются свободными, тогда как

все ссылки на переменную SPX (в предложении WHERE) являются связанными, как

и должно быть, поскольку на них нет ссылок в прототипе кортежа.

Интуитивно понятно, что результатом выполнения операции, заданной

параметром , будет отношение, содержащее все

возможные значения кортежей, определяемых параметром ,

для которых результат вычисления логического выражения, заданного в

предложении WHERE параметром , принимает значение

истина. (Если предложение WHERE опущено, это эквивалентно указанию

выражения WHERE true.) Сделаем некоторые уточнения.

. Прежде всего, прототип кортежа - это список разделённых запятыми

элементов (возможно, заключённый в скобки), каждый элемент которого

является либо ссылкой на атрибут кортежа (который может содержать

предложение AS для введения нового имени атрибута), либо просто именем

переменной кортежа. Тем не менее отметим следующее.

1) В этом контексте имя переменной кортежа чаще всего является

сокращённым обозначением списка разделённых запятыми ссылок на

атрибуты, по одной для каждого атрибута отношения, на котором задана

данная переменная кортежа.

2) Ссылка на атрибут кортежа без предложения AS, в принципе, является

сокращённым обозначением ссылки с предложением AS, в которой новое

имя атрибута совпадает со старым.

Следовательно, без потери общности прототип кортежа можно рассматривать

как список, состоящий из разделённых запятыми ссылок на атрибуты в виде

Vi.Ai AS Bj. Обратите внимание, что ссылки Vi- и Aj-е могут повторяться,

тогда как ссылки Bj-е должны быть разными.

. Пусть V1, V2, … ,Vm будут различными переменными кортежей, упоминаемыми в

прототипе кортежа, и пусть эти переменные будут определены на отношениях

r1, r2, … ,rm соответственно. Примем, что r1’, r2’, … ,rm’ - это новые

отношения, полученные после переименования атрибутов в предложении AS, и

пусть r’ - это декартово произведение отношений r1’, r2’, … , rm’.

. Пусть отношение r - это выборка из отношения r’, удовлетворяющая формуле

WFF в предложении WHERE.

Замечание. Здесь предполагается, что на предыдущем шаге были также

переименованы атрибуты, упоминающиеся в предложении WHERE; в противном

случае функция WFF в предложении WHERE может не иметь смысла.

. Конечное значение реляционной операции, заданной параметром , определяется как проекция отношения r по всем заданным

атрибутам Bj.

2.7. Примеры.

Представляем несколько примеров использования реляционного

исчисления кортежей для формулирования запросов.

> Определить имена поставщиков детали с номером ‘P2’

SX

WHERE EXISTS SPX (SPX.S# = SX.S# AND

SPX.P# = P# (‘P2’) )

Обратите внимание на использование имени переменной кортежа в

прототипе кортежа. Этот пример является сокращённой записью следующего

выражения.

(SX.S#, SX.NAME, SX.STATUS, SX.CITY)

WHERE EXISTS SPX (SPX.S# = SX.S# AND

SPX.P# = P# (‘P2’) )

Этот же пример решённый средствами реляционной алгебры выглядит так

( (SP JOIN S) WHERE P# =’P2’) {SNAME}

> Определить имена поставщиков по крайней мере одной красной детали

SX.SNAME

WHERE EXISTS SPX (SX.S# = SPX.S# AND

EXISTS PX (PX.P# = SPX.P# AND

PX.COLOR =

COLOR (‘Red’) ) )

Этот же пример решённый средствами реляционной алгебры выглядит так

( ( ( P WHERE COLOR = COLOR (‘Red’) )

JOIN SP) {S#} JOIN S) {SNAME}

3. Сравнительный анализ реляционного исчисления и реляционной

алгебры.

В начале утверждалось, что реляционная алгебра и реляционное

исчисление в своей основе эквивалентны. Осудим это утверждение более

подробно. Вначале Кодд показал, что алгебра по крайней мере мощнее

исчисления. Он сделал это, придумав алгоритм, называемый алгоритмом

редукции Кодда, с помощью которого любое выражение исчисления можно

преобразовать в семантически эквивалентное выражение алгебры. Мы не станем

приводить здесь этот алгоритм полностью, а ограничимся довольно сложным

примером, иллюстрирующим в общих чертах, как он функционирует.

|S# |SNAME |STATUS |CITY |

|S1 |Smith |20 |London |

|S2 |Jones |10 |Paris |

|S3 |Black |30 |Paris |

|S4 |Clark |20 |London |

|S5 |Adams |30 |Athens |

|S#|P# |J#|QTY |

|S1|P1 |J1|200 |

|S1|P1 |J4|700 |

|S2|P3 |J1|400 |

|S2|P3 |J2|200 |

|S2|P3 |J3|200 |

|S2|P3 |J4|500 |

|S2|P3 |J5|600 |

|S2|P3 |J6|400 |

|S2|P3 |J7|800 |

|S2|P5 |J2|100 |

|S3|P3 |J1|200 |

|S3|P4 |J2|500 |

|S4|P6 |J3|300 |

|S4|P6 |J7|300 |

|S5|P2 |J2|200 |

|S5|P2 |J4|100 |

|S5|P5 |J5|500 |

|S5|P5 |J7|100 |

|S5|P6 |J2|200 |

|S5|P1 |J4|100 |

|S5|P3 |J4|200 |

|S5|P4 |J4|800 |

|S5|P5 |J4|400 |

|S5|P6 |J4|500 |

|P#|PNAME |COLOR |WEIGHT |CITY |

|P1|Nut |Red |12.0 |London|

|P2|Bolt |Green |17.0 |Paris |

|P3|Screw |Blue |17.0 |Rome |

|P4|Screw |Red |14.0 |London|

|P5|Cam |Blue |12.0 |Paris |

|P6|Cog |Red |19.0 |London|

|J#|JNAME |CITY |

|J1|Sorter|Paris |

|J2|Displa|Rome |

| |y | |

|J3|OCR |Athens|

|J4|Consol|Athens|

| |e | |

|J5|RAID |London|

|J6|EDS |Oslo |

|J7|Tape |London|

S-детали, P- поставщики, J- проекты, SPJ- поставки.

Рассмотрим теперь следующий запрос: «Получить имена поставщиков и

названия городов, в которых находятся поставщики деталей по крайней мере

для одного проекта в Афинах, поставляющих по крайней мере 50 штук каждой

детали». Выражение реляционного исчисления для этого запроса следующее.

(SX.SNAME, SX.CITY) WHERE EXISTS JX FORALL PX EXISTS SPJX

( JX.CITY = ‘Athens’ AND

JX.J# = SPJX.J# AND

PX.P# = SPJX.P# AND

SX.S# = SPJX.S# AND

SPJX.QTY ? QTY (50) )

Здесь SX, PX, JX и SPJX - переменные кортежей, получающие свои

значения из отношений S, P, J и SPJ соответственно. Теперь покажем, как

можно вычислить это выражение, чтобы достичь требуемого результата.

Этап 1. Для каждой переменной кортежа выбираем её область значений

(т.е. набор всех значений для переменной), если это возможно. Выражение

«выбираем, если возможно» подразумевает, что существует условие выборки,

встроенное в фразу WHERE, которую можно использовать, чтобы сразу исключить

из рассмотрения некоторые кортежи. В нашем случае выбираются следующие

наборы кортежей.

SX : Все кортежи отношения S

5 кортежей

PX : Все кортежи отношения P

6 кортежей

JX : Кортежи отношения J, в которых CITY = ‘Athens’

2 кортежа

SPJX : Кортежи отношения SPJ, в которых CITY ? 50

24 кортежа

Этап 2. Строим декартово произведение диапазонов, выбранных на

первом этапе. Вот результат.

|S5 |Adams |30 |Athens |J4 |Console |Athens |

(Теперь у нас есть место, чтобы показать отношение полностью, без

сокращений.)

1.(EXISTS JX) Проецируем, исключая атрибуты отношения J (J.J#, J.NAME и

J.CITY). В результате получаем следующее.

|S# |SN |STATUS |CITY |

|S5 |Adams |30 |Athens |

Этап 5. Проецируем результат этапа 4 в соответствии со спецификациями

в прототипе кортежа. В нашем примере имеет следующий вид.

(SX.SNAME, SX.CITY)

Значит, конечный результат вычислений будет таков.

|SNAME |CITY |

|Adams |Athens |

Из сказанного выше следует, что начальное выражение исчисления

семантически эквивалентно определённому вложенному алгебраическому

выражению, и, если быть более точным, это проекция от проекции результата

деления проекции выборки из произведения четырёх выборок (!).

И хотя многие подробности в пояснениях были упущены, этот пример

вполне адекватно отражает общую идею работы алгоритма редукции.

Теперь моно объяснить одну из причин (и не только одну)

определения Коддом ровно восьми алгебраических операторов. Эти восемь

реляционных операторов образуют удобный целевой язык как средство возможной

реализации реляционного исчисления. Другими словами, для заданного языка,

построенного на основе реляционного исчисления (подобно языку QUEL), один

из возможных подходов реализации заключается в том, что организуется

получение запроса в том виде, в каком он представляется пользователем. По

существу, он будет являться просто выражением реляционного исчисления, к

которому затем можно будет применить определённый алгоритм редукции, чтобы

получить эквивалентное алгебраическое выражение. Это алгебраическое

выражение, конечно, будет включать набор алгебраических операций, которые

по определению реализуемы по самой своей природе.

Также следует отметить, что восемь алгебраических операторов Кодда

являются мерой оценки выразительной силы любого языка баз данных.

Некоторый язык принято называть реляционно полным, если он по

своим возможностям по крайней мере не уступает реляционному исчислению.

Иначе говоря, любое отношение, которое можно определить с помощью

реляционного исчисления, можно определить и с помощью некоторого выражения

рассматриваемого языка. («Реляционно полный» значит «не уступающий по

возможностям реляционной алгебре», а не исчислению, но это одно и то же,

как мы вскоре убедимся. По сути, из самого существования алгоритма редукции

Кодда немедленно следует, что реляционная алгебра обладает реляционной

полнотой.)

Реляционную полноту можно как основную меру выразительной силы

языков баз данных в самом общем случае. В частности, так как реляционное

исчисление и реляционная алгебра обладают реляционной полнотой, они могут

служить основой для проектирования не уступающих им по выразительности

языков без необходимости выполнять пересортировку для организации циклов.

Это замечание особенно важно, если язык предназначается для конечных

пользователей, хотя оно также существенно, если язык предназначается для

использования прикладными программистами.

Далее, поскольку алгебра обладает реляционной полнотой, для

доказательства того, что некоторый язык L также обладает реляционной

полнотой, достаточно показать, что в языке L есть аналогии всех восьми

алгебраических операций (на самом деле достаточно показать, что в нём есть

аналоги пяти примитивных операций) и что операндами любой операции языка L

могут быть любые выражения этого языка. Язык SQL - это пример языка,

реляционную полноту которого можно доказать указанным способом. Язык QUEL -

ещё один пример подобного языка. В действительности на практике часто проще

показать то, что в языке есть эквиваленты операций реляционной алгебры, чем

то, что в нём существуют эквиваленты выражений реляционного исчисления.

Именно поэтому реляционная полнота обычно определяется в терминах

алгебраических выражений, а не в терминах выражений реляционного

исчисления.

При этом важно понимать, что реляционная полнота необязательно

влечёт за собой полноту какого-либо другого рода. Например, желательно,

чтобы язык также обеспечивал «вычислительную полноту», т.е. позволял

вычислять результаты всех вычислимых функций. Заметим, что согласно нашему

определению исчисление не обладает полнотой такого рода, хотя на практике

подобная полнота для языка баз данных весьма желательна. Вычислительная

полнота - это один из факторов, побудивших ввести в реляционную алгебру

операции EXTEND и SUMMARIZE. В следующем разделе описано, как можно

расширить реляционное исчисление, чтобы обеспечить в нём наличие аналогов

этих операций.

Вернёмся к вопросу эквивалентности алгебры и исчисления. Мы на

примере показали, что любое выражение исчисления можно преобразовать в его

некоторый алгебраический эквивалент, а значит, алгебра по крайней мере не

уступает по своей мощности исчислению. Можно показать обратное: каждое

выражение реляционной алгебры можно преобразовать в эквивалентное выражение

реляционного исчисления, а значит, исчисление по крайней мере не уступает

по своей мощности реляционной алгебре. Отсюда следует, что реляционная

алгебра и реляционное исчисление эквивалентны.

4. Вычислительные возможности.

Несмотря на то что ранее об этом не упоминалось, в определённом

нами реляционном исчислении уже есть аналоги алгебраических операторов

EXTEND и SUMMARIZE, и вот почему.

. Одной из допустимых форм прототипа кортежа является параметр , компонентами которого могут быть произвольные

подпараметры .

. В параметре сравниваемыми элементами могут быть

произвольные подпараметры .

. Первым или единственным аргументом в параметре

является подпараметр .

4.1. Примеры.

> Для каждой детали выбрать номер и общий объём поставки в штуках

(PX.P#, SUM (SPX WHERE SPX.P# = PX.P#, QTY) AS TOTQTY)

> Определить общее количество поставляемых деталей

SUM (SPX, QTY) AS GRANDTOTAL)

> Определить номера и вес в граммах всех типов деталей, вес которых

превышает 10000г

(PX.P#, PX.WEIGHT * 454 AS GMWT)

WHERE PX.WEIGHT * 454 > WEIGHT

(10000)

Обратите внимание, что спецификация AS GMWT в прототипе кортежа даёт имя

соответствующему атрибуту результата. Поэтому такое имя недоступно для

использования в предложении WHERE и выражение PX.WEIGHT * 454 должно быть

указано в двух местах.

5. Исчисление доменов.

Как указывалось в «Введении», реляционное исчисление,

ориентированное на домены (или исчисление доменов), отличается от

исчисления кортежей тем, что в нём вместо переменных кортежей используется

переменные доменов, т.е. переменные, принимающие свои значения в пределах

домена, а не отношения. С практической точки зрения большинство очевидных

различий между версиями исчисления доменов и исчисления кортежей основано

на том, что версия для доменов поддерживает форму параметра , который мы будем называть условием принадлежности. В общем виде

условие принадлежности можно записать так.

R (пара, пара, …)

Здесь R- имя отношения, а каждый параметр пара имеет вид A: v, где

A - атрибут отношения R, а v - имя переменной домена или литерал. Проверка

условия даёт значение истина тогда и только тогда, когда в текущем значении

отношения R существует кортеж, имеющий указанные значения для указанных

атрибутов. Например, рассмотрим результат вычисления следующего выражения.

SP (S# : S# (‘S1’), P# : P# (‘P1’) )

Он будет иметь значение истина тогда и только тогда, когда в

отношении SP будет существовать кортеж со значением атрибута S#, равным

‘S1’, и значением атрибута P#, равным ‘P1’. Аналогично условие

принадлежности

SP (S# : SX, P# : PX)

принимает значение истина тогда и только тогда, когда в отношении SP

существует кортеж со значением атрибута S#, эквивалентным текущему значению

переменной домена PX (опять же, какому бы ни было).

Далее будем подразумевать существования следующих переменных

доменов.

Домен

Переменная домена

S#

SX, SY, …

P#

PX, PY, …

NAME

NAMEX, NAMEY, …

COLOR

COLORX, COLORY, …

WEIGHT

WEIGHTX, WEIGHTY, …

QTY

QTYX, QTYY, …

CHAR

CITYX, CITYY, …

INTEGER

STATUSX, STATUSY, …

Ниже приведено несколько примеров выражений исчисления доменов.

SX

SX WHERE S (S# : SX)

SX WHERE S (S# : SX, CITY : ‘London’)

(SX, CITYX) WHERE S (S# : SX, CITY : ‘London’)

AND SP (S# : SX, P# : P# (‘P2’) )

(SX,PX) WHERE S (S# : SX, CITY : CITYX)

AND P (P# : PX, CITY : CITYY)

AND CITYX ? CITYY

Если говорить нестрого, первое выражение означает множество всех

номеров поставщиков, второе - множество всех номеров поставщиков из

Лондона. Следующее выражение - это выраженный в терминах исчисления доменов

запрос «Определить номера поставщиков и названия городов, в которых

находятся поставщики детали с номером ‘P2’» (вспомните, что в этом запросе,

выраженном в терминах исчисления кортежей, использовался квантор

существования). И последнее выражение - это представленный в терминах

исчисления доменов запрос «Найти все такие пары номеров поставщиков и

номеров деталей, для которых поставщик и деталь находятся в одном городе».

5.1. Примеры.

> Найти все такие пары номеров поставщиков, в которых два поставщика

находятся в одном городе

(SX AS SA, SY AS SB) WHERE EXISTS CITYZ

(S (S# : SX, CITY :

CITYZ) AND

S (S# : SY, CITY :

CITYZ) AND

SX < SY)

> Определить имена поставщиков по крайней мере одной красной детали

NAMEX WHERE EXISTS SX EXISTS PX

(S (S# : SX, SNAME : NAMEX)

AND SP (S# : SX, P# : PX)

AND P (P# : PX, COLOR : COLOR (‘Red’) ) )

> Выбрать имена поставщиков всех типов деталей

NAMEX WHERE EXISTS SX (S (S# : SX, SNAME : NAMEX)

AND FORALL PX (IF P (P# : PX)

THEN SP

(S# : SX, P# : PX)

END IF)

6. Средства языка SQL.

Как уже говорилось в разделе «Сравнительный анализ реляционного

исчисления и реляционной алгебры», в основу реляционного языка могут быть

положены как реляционная алгебра, так и реляционное исчисление. Что же

положено в основу языка SQL? Ответом будет №частично и то, и другое, а

частично ни то, ни другое…». Когда язык SQL только разрабатывался,

предполагалось что он будет отличаться как от реляционной алгебры, так и от

реляционного исчисления. Действительно, именно этим мотивировалось введение

в язык конструкции IN . Однако со временем выяснилось, что язык

SQL нуждается в определённых средствах как реляционной алгебры, так и

исчисления, поэтому он был расширен для включения этих функций. На

сегодняшний день ситуация складывается таким образом, что язык SQL в чём-то

похож на реляционную алгебру, в чём-то на реляционное исчисление, а в чем-

то отличается от них обоих.

Запросы в языке SQL формулируется в виде табличных выражений,

которые потенциально могут иметь очень высокую степень сложности.

6.1.

Примеры.

> Для всех деталей указать номер и вес в граммах

SELECT P.P#, P.WEIGHT * 454 AS GMWT

FROM P;

Спецификация AS GMWT вводит соответствующее имя результирующего столбца.

Таким образом, два столбца результирующей таблицы будут называться P# и

GMWT. Если бы спецификация AS GMWT была опущена, то соответствующий

столбец был бы фактически безымянным. Отметим, что хотя в подобных случаях

правила языка SQL в действительности не требуют от пользователя указания

имени результирующего столбца.

> Выбрать информацию обо всех парах поставщиков и деталей, находящихся в

одном городе

В языке SQL существует несколько способов формулирования этого запроса.

Приведем три самых простых.

1. SELECT S.*, P.P#, P.NAME, P.COLOR, P.WEIGHT

FROM S, P

WHERE S.CITY =P.CITY;

2. S JOIN P USING CITY;

3. S NATURAL JOIN P;

Результатом в каждом случае будет естественное соединение таблиц S и P (по

атрибуту города CITY).

Первая формулировка заслуживает более подробного обсуждения. Именно одна

из трёх предложенных вариантов является допустимой в первоначальной версии

языка SQL (явная операция JOIN была добавлена в стандарт SQL/92).

Концептуально можно рассматривать реализацию этой версии запроса следующим

образом.

. Во-первых, после выполнения предложения FROM мы получаем декартово

произведение S TIMES P. (Строго говоря, перед вычислением

произведения следовало бы позаботится о переименовании столбцов. Для

простоты мы этого не делаем.)

. Во-вторых, после выполнения предложения WHERE мы получаем выборку из

этого произведения, в которой два значения атрибута CITY в каждой

строке равны (иначе говоря, выполнено соединение таблиц поставщиков

и деталей по эквивалентности их атрибутов городов).

. В-третьих, после выполнения предложения SELECT мы получаем проекцию

выборки по столбцам, указанным в предложении SELECT. Конечным

результатом будет естественное соединение указанных таблиц.

Следовательно, предложение FROM в языке SQL соответствует декартову

произведению, предложение WHERE - операции выборки, а совместное

применение предложений SELECT-FROM-WHERE - проекции выборки произведения.

7. Заключение.

Мы рассмотрели реляционное исчисление, альтернативное реляционной

алгебре.

Внешне два подхода очень отличаются: исчисление имеет описательный

характер, тогда как характер алгебры - предписывающий, но на более низком

уровне они представляют собой одно и то же, поскольку любые выражения

исчисления могут быть преобразованы в семантически эквивалентные выражения

алгебры и наоборот.

Реляционное исчисление существует в двух версиях: исчисление

кортежей и исчисление доменов. Основное различие между ними состоит в том,

что переменные исчисления кортежей изменяются на отношениях, а переменные

исчисления доменов изменяются на доменах.

Выражение исчисления кортежей состоит из прототипа кортежа и

необязательного предложения WHERE, содержащего логическое выражение или

формулу WFF («правильно построенную формулу»). Подобная формула WFF может

включать кванторы (EXISTS и FORALL), свободные и связанные ссылки на

переменные, логические (булевы) операторы (AND, OR, NOTи др.) и т.д. Каждая

свободная переменная, которая встречается в формуле WFF, также должна быть

упомянута в прототипе кортежа.

Замечание. Здесь этот вопрос явно не затрагивался, но выражения

реляционного исчисления предназначены, по существу, для тех же целей, что и

выражения реляционной алгебры.

На примере было показано[1], как алгоритм редукции Кодда может

использоваться для преобразования произвольного выражения реляционного

исчисления в эквивалентное выражение реляционной алгебры, таким образом

подготавливая почву для выбора возможной стратегии реализации исчисления.

Вновь обратившись к вопросу реляционной полноты, мы кратко обсудили, каким

образом можно доказать, что некоторый язык L является полным в этом смысле.

Кроме того, здесь обсуждалось, как можно расширить исчисление

кортежей с целью поддержки определённых вычислительных возможностей

(аналогичные возможности в реляционной алгебре обеспечиваются операциями

EXTEND и SUMMARIZE). Затем нам было представлено краткое введение в

исчисление доменов и отмечено (правда, без попытки доказать это), что оно

также является реляционно полным. Таким образом, исчисление кортежей,

исчисление доменов и реляционная алгебра эквивалентны.

И наконец, нашему вниманию был представлен обзор соответствующих

средств языка SQL. Язык SQL является своеобразной смесью реляционной

алгебры и исчисления (кортежей

). Например, в нём есть прямая поддержка таких операций реляционной

алгебры, как соединение и объединение, но одновременно с этим используются

переменные кортежей и квантор существования из реляционного исчисления. SQL

– запрос представляет собой табличное выражение. Обычно такая конструкция

содержит единственное выражение выборки, однако поддерживаются и различные

типы явных выражений операций соединения (JOIN), причём выражения

соединения и выборки могут комбинироваться произвольным образом с помощью

операторов UNION, INTERSECT и EXCEPT. Также упоминалось о возможности

использования предложения ORDER BY для определения упорядоченности строк в

таблице, являющейся результатом вычисления данного табличного выражения

(любого вида).

В частности, были описаны следующие компоненты выражений выборки.

. Базовое предложение SELECT, в том числе использование ключевого слова

DISTINCT, скалярных выражений, введение имён результирующих столбцов и

использование предложения SELECT *

. Предложение FROM, включая использование переменных кортежей

. Предложение WHERE, включая использование оператора EXISTS

. Предложение GROUP BY и HAVING, включая использование обобщающих функций

COUNT, SUM, AVG, MAX и MIN

. Использование подзапросов в предложениях SELECT, FROM и WHERE

Кроме того, здесь был описан концептуальный алгоритм вычисления

(т.е. схема формального определения) для выражений выборки.

8. Список литературы.

1) «Введение в системы баз данных» К.Дж.Дейт, издательство «Питер», СПб

2002г.

2) «Базы данных: модели, разработка, реализация» учебник под редакцией

Т.Карповой, издательство «Питер», СПб 2001г.

3) «Системы баз данных» Г.Гаремо-Малино, Москва 2003г.

8. Список литературы.

4) «Введение в системы баз данных» К.Дж.Дейт, издательство «Питер», СПб

2002г.

5) «Базы данных: модели, разработка, реализация» учебник под редакцией

Т.Карповой, издательство «Питер», СПб 2001г.

6) «Системы баз данных» Г.Гаремо-Малино, Москва 2003г.

-----------------------

[1] Сравнительный анализ реляционного исчисления и реляционной алгебры.