Вычисления площади произвольного многоугольника

Вычисления площади произвольного многоугольника

АННОТАЦИЯ

В курсовом проекте решается задача вычисления площади произвольного

многоугольника итерационным алгоритмом.

ЗАДАНИЕ.

Многоугольник (не обязательно выпуклый) задан на плоскости

пересечением координат вершин в порядке обхода его границ. Определить

площадь многоугольника.

СОДЕРЖАНИЕ

Аннотация

Задание на выполнение курсового проекта

Содержание

Введение

1 Разработка программной реализации

2 Проверка на контрольных примерах

3 Заключение

Приложение 1. Блок-схема.

Приложение 2. Программа.

ВВЕДЕНИЕ

Системы, подобные представленной, часто можно встретить в повседневной

жизни.

Данная задача не имеет аналитического решения. В геометрии существуют

формулы, позволяющие вычислять площади правильных многоугольников, но для

произвольных многоугольников таких формул нет. Решение задачи можно

получить численными методами. Рассмотрим два из них.

1. Площадь произвольной фигуры можно вычислить методом Монте-Карло.

Фигура вписывается в другую фигуру с известной площадью. Случайным

образом на последнюю ставятся произвольное количество точек. Площадь

определяется по формуле [pic], где Nф – количество точек попавших в

заданную фигуру, N – общее количество точек. Достоинство данного

метода заключается в простоте реализации, сложность состоит только в

определении попадания точки внутрь заданной фигуры. Очевидно, что

точность вычисленной площади зависит от количества точек. Приемлемая

точность может быть достигнута только при большом их количестве. В

этом заключается один из недостатков метода. Точность также сильно

зависит от качества генератора случайных чисел.

2. Из курса геометрии известно, что любой многоугольник можно разбить

на несколько треугольников, соединяя отрезками несмежные вершины.

Площадь многоугольника при этом будет равна сумме площадей

полученных треугольников. В этом заключается второй метод

определения площади. Площадь треугольника по заданным вершинам легко

определяется по аналитическим формулам, поэтому этот метод позволяет

получить большую точность при меньших затратах вычислительных

ресурсов.

РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОЙ МОДЕЛИ.

Решение задачи будем производить, разбивая одну большую и трудную

задачу на несколько небольших и несложных.

В черновом виде данный алгоритм можно представить в следующем виде:

1. Ввод вершин

2. Предварительная обработка

3. Пока количество вершин больше трех повторяем:

. Найти выпуклую вершин, т.е. вершину, внутренний угол которой меньше

1800. Например на рисунке вершины 1,3,4,5 являются выпуклыми.

. Отрезаем треугольник образованный этой вершиной и двумя смежными.

4. Площадь многоугольника будет равна сумме площадей отрезанных

треугольников и площади оставшегося (при выходе из цикла) треугольника.

Рассмотрим все пункты алгоритма.

1) Ввод данных. Данные будем хранить в текстовом файле ,каждая первая

строка которого содержит количество вершин, а последующие – пары

координат (X,Y), разделенных пробелом. Координаты вершин и внутренние

углы будем хранить в структуре типа:

sd: array[1..100] of

record

x,y: real;

angle: real;

end;

А количество вершин в глобальной переменной n.

Следующая процедура осуществляет ввод данных:

procedure input;

var f: text;

i: integer;

begin

Assign(f,'points.dat');

reset(f);

readln(f, n);

for i:=1 to n do readln(f, sd[i].x, sd[i].y);

end;

2) Предварительная обработка.

В данном пункте алгоритма осуществляется вычисление внутренних углов

многоугольника.

Рассмотрим часть произвольного многоугольника:

Пусть вектор A образует с ось OX угол (1, а вектор B – угол (2. Тогда

угол между ними (внутренний угол многоугольника) будет равен

180–(1–(2. Здесь нельзя использовать формулу угла между векторами

через скалярное произведение, т.к таким образом вычисляется

минимальный угол. Но при этом возможен такой случай:

Угол будет внешним.

Так вычислим либо все внутренние, либо все внешние углы

многоугольника. Чтобы выяснить какие углы мы нашли, рассмотрим

следующую теорему:

Сумма внешних углов произвольного многоугольника больше суммы

внутренних.

Доказательство проведем по индукции:

1) Очевидно, что теорема справедлива для треугольника

2) Предположим, что теорема справедлива для k-угольника

3) Докажем теперь, что теорема справедлива для (k+1)-угольника.

Пусть сумма внутренних углов k-угольника равна (1, а внешних (2.

Из п.2 следует, что (1=0 then res:=pi+res

else res:=-pi-res

else

if dy2*pi then sd[i].angle:=sd[i].angle-2*pi

else

if sd[i].angle2*pi then sd[n].angle:=sd[n].angle-2*pi

else

if sd[n].angle0) and (i<>c)

then exit;

cross:=false;

exit

end;

for i:=1 to n-1 do

begin

AA1:=sd[i+1].y-sd[i].y;

BB1:=-(sd[i+1].x-sd[i].x);

CC1:=sd[i].y*(sd[i+1].x-sd[i].x)-sd[i].x*(sd[i+1].y-sd[i].y);

if Mline(sd[i].x, sd[i].y)*Mline(sd[i+1].x,sd[i+1].y)=0 then res:=pi+res

else res:=-pi-res

else

if dy2*pi then sd[i].angle:=sd[i].angle-2*pi

else

if sd[i].angle2*pi then sd[n].angle:=sd[n].angle-2*pi

else

if sd[n].angle0) and (i<>c)

then exit;

cross:=false;

exit

end;

for i:=1 to n-1 do

begin

AA1:=sd[i+1].y-sd[i].y;

BB1:=-(sd[i+1].x-sd[i].x);

CC1:=sd[i].y*(sd[i+1].x-sd[i].x)-sd[i].x*(sd[i+1].y-sd[i].y);

if Mline(sd[i].x, sd[i].y)*Mline(sd[i+1].x,sd[i+1].y)3 do

begin

i:=1;

while (sd[i].angle>pi) or (cross(i)) do

inc(i);

if i=1 then

S:=S+St(sd[1].x,sd[1].y, sd[2].x,sd[2].y, sd[n].x,sd[n].y)

else

if i=n then

S:=S+St(sd[n].x,sd[n].y, sd[1].x,sd[1].y, sd[n-1].x,sd[n-

1].y)

else S:=S+St(sd[i].x,sd[i].y, sd[i-1].x,sd[i-1].y,

sd[i+1].x,sd[i+1].y);

dec(n);

for j:=i to n do sd[j]:=sd[j+1];

Angles

end;

S:=S+St(sd[1].x,sd[1].y, sd[2].x,sd[2].y, sd[3].x,sd[3].y);

Writeln('Площадь фигуры: ', S:3:3);

Readkey

end.

-----------------------

2

1

4

5

3

A

B

(

(

(

А

A1

A2

B1

B2

А