Лекции по твердотельной электронике

ближе к ней, тем больше концентрация дырок). При этом в соответствии

с (18) концентрация дырок уменьшается. Действительно используя (17) и

(20) получим для области истощения примеси:

[pic] (1.9)

Согласно (1.90 чем больше концентрация акцепторных примесей Na,

тем выше концентрация основных носителей дырок заряда и ниже

концентрация неосновных носителей электронов.

Контрольные вопросы.

1. Каковы отличия электронного спектра атомов от электронного

спектра кристаллов?

2. Каковы будут отличия электронного системы состоящей из

невзаимодействующих атомов (разреженный газ) от системы

состоящей из взаимодействующих атомов (кристалл)?

3. Почему электроны в полупроводниковом кристалле могут

переносить заряд, если он находятся в зоне проводимости и не

могут переносить заряд, если они находятся в заполненной

валентной зоне?

4. Объясните, почему кристаллы состоящие из элементов первой

группы являются хорошими проводниками?

5. Как вы считаете, если бы удалось получить кристаллический

водород, то он был бы проводником или полупроводником?

6. Почему в элементарных полупроводниках (четвертая группа

периодической системы элементов Д.И. Менделеева) при

увеличении атомарного веса ширина запрещенной зоны

уменьшается?

7. Почему введение в кремний (германий) примесных атомов,

принадлежащих к пятой группе периодической системы элементов

приводит к появлению свободных электронов в зоне

проводимости?

8. Почему введение в кремний (германий) примесных атомов,

принадлежащих к третьей группе периодической системы

элементов приводит к появлению свободных дырок в зоне

проводимости?

9. Почему дырки в полупроводнике часто называют квазичастицами?

Лекция 3

1.2.4. Расчет концентрации носителей заряда в кристалле.

Приводимость любых твердых тел определяется прежде всего

концентрацией в них электронов и дырок способных переносить заряд.

Концентрация носителей заряда (этим термином будем обозначать только

свободные электроны и дырки) должна зависеть от температуры,

поскольку с увеличением температуры возрастает тепловая энергия

решетки и следовательно вероятность того, что какая то часть

валентных связей будет нарушена и соответственно возникнут электроны

и дырки.

Перечислим основные положения модели, которая используется для

расчета концентрации носителей заряда в кристаллах:

. кристалл является квантовой системой, поэтому поведение всех

находящихся в нем электронов (и дырок) подчиняется

закономерностям квантовой механики, т.е. как локализованные

(привязанные к атомам), так и “свободные” (способные

перемещаться по кристаллу) электроны находятся в определенных

квантовых состояниях, характеризуемых соответствующими

энергетическими уровнями;

. в кристалле имеются состоящие из большого количества

(1022 эВ-1см-3) близко расположенных уровней

зоны (расстояние между уровнями порядка 10-22 эВ);

. на одном энергетическом уровне в соответствии с принципом

запрета Паули не может находиться более двух электронов с

разным значением спина, т.е. электроны не могут перемещаться

по состояниям занятым другими электронами;

. в термодинамическом равновесии электроны распределяются по

энергетическим состояниям в соответствии с функцией

распределения Ферми - Дирака:

[pic] (1.10)

где f(E,T) – вероятность нахождения электрона в состоянии с энергией

E, T –температура системы (в градусах К), k – постоянная Больцмана, F

– энергия уровня Ферми (это характеристическая энергия системы ниже

которой при T = 0K все состояния заполнены выше пустые

);

. поскольку энергетические уровни в разрешенных зонах очень близко

расположены друг друга можно дискретное распределение состояний по

энергиям заменить непрерывным N(E).

На рис. 1.13 показан вид функции Ферми-Дирака при различных

значениях температуры.

[pic]

Рис. 1.13. Вид функции вероятности распределения по состояниям для

различных температур

Как видно из (1.10) и рис. 1.13 вероятность нахождения частицы на

уровне с элегией F всегда равна Ѕ при всех температурах. В то же

время по мере роста температуры вероятность появления частиц выше

уровня Ферми возрастает. При температурах отличных от нуля, если E -

F > kT, то функция Ферми-Дирака хорошо представляется

экспоненциальной зависимостью (область в квадрате на рис. 1.13).

Соответствующее распределение называется распределением Больцмана:

[pic] (1.11)

Используя сделанные допущения возможно рассчитать количество

электронов находящихся в заданном энергетическом интервале ?E = E2

-E1:

[pic] (1.12)

где N(E) – распределение плотности энергетических состояний по

энергиям, f(E) – вероятность нахождения электрона на уровне с

энергией E.

В качестве примера на рис. 1.12 показано как используя функцию

распределения f(E) и функцию плотности состояния (N(E)~E1/2)

определить распределение электронов по энергиям в металле.

[pic]

Рис. 1.12. Схема расчета распределения электронов по энергиям в

металле (или вырожденном полупроводнике) при использовании

зависимостей N(E), f(E)? n(E)=N(E)f(E)

На рис. 1.12 (нижний график) показано распределение электронов

характерное для металлов или вырожденных полупроводников, т.е

полупроводников имеющих настолько высокую концентрацию примесей, что

в них уровень Ферми попадает в разрешенную зону и их проводимость

становится близкой к металлической. Из распределения рис. 1.12 можно

сделать один важный вывод, то в проводимости металлов могут

участвовать не все электроны, а только те энергия которых лежат

вблизи уровня Ферми (в объемном случае вблизи поверхности Ферми).

Действительно в электрическом поле электрон приобретает энергию,

следовательно он должен перемещаться на уровень расположенный выше

его начального состояния, а сделать это возможно только в том случае,

если лежащий над ним уровень не занят (запрет Паули), такая ситуация

имеет место только для электронов расположенных в энергетической

области непосредственно примыкающей к уровню Ферми.

В собственных полупроводниках и не вырожденных легированных

полупроводниках вероятность нахождения электронов в зоне проводимости

мала (много меньше 0,5), вероятность нахождения электрона в валентной

зоне велика (много больше 0,5), следовательно уровень вероятность

нахождения электрона на котором равна 0,5 (уровень Ферми) должен

находиться между зоной проводимости и валентной зоной, т.е. лежать

в запрещенной зоне. Действительно для невырожденных полупроводников

уровень Ферми всегда находится в запрещенной зоне и для расчета

концентрации электронов находящихся в зоне проводимости и дырок

находящихся в валентной зоне можно вместо уровня Ферми

воспользоваться распределением Больцмана.

Рассчитаем концентрацию электронов проводимости:

[pic] (1.13)

где Nc – эффективная плотность состояний в зоне проводимости, она

зависит от форма зоны - Е(p) и температуры (слабо).

[pic] , (1.14)

где mn* - эффективная масса электронов в зоне проводимости, m – масса

о электрона, k- постоянная Больцмана, h- постоянная Планка [1].

Для того, чтобы рассчитать количество дырок в зоне проводимости

учтем, что вероятность заполнения энергетического уровня дыркой

равна:

[pic] (1.14)

Рассчитаем концентрацию дырок в валентной зоне:

[pic] (1.15)

где Nv – эффективная плотность состояний в валентной зоне.

[pic] (1.16)

Рассчитаем концентрацию электронов и дырок в собственном

полупроводнике. Для этого мы должны определить для него положение

уровня Ферми. Положение уровня Ферми в полупроводниках определяется

из условия электронейтральности.

[pic] (1.17)

Откуда получим:

[pic] (1.18)

Поскольку (Ec+Ev)/2 >>(kT/2)ln(Nv/Nc), то мы получили, что в

собственном полупроводнике уровень Ферми лежит примерно посередине

запрещенной зоны и его положение слабо зависит от температуры.

Обозначим концентрацию носителей в собственном полупроводнике

через ni2 и рассчитаем чему равно произведение концентрации

электронов и дырок, а так же значение ni2:

[pic] (1.19)

Т.е. концентрация электронов и дырок растет с температурой по

экспоненциальному закону с показателем равным половине ширины

запрещенной зоны. Эту зависимость удобно представлять на графиках

откладывая по вертикальной оси концентрацию в логарифмическом

масштабе, а по горизонтальной обратную температуру 1/T (обычно

откладывают 1000/T). Действительно прологарифмировав первое выражение

(1.17) получим:

[pic] (1.20)

Соответствующие зависимости для Ge, Si и GaAs показаны на рис.

1.13.

[pic]

Рис. 1.14. Зависимость концентрации носителей от температуры

Поскольку ni является некоторой характеристической величиной для

полупроводникового материла из соотношения np = ni2 следует, что

увеличение концентрации электронов за счет легирования материла будет

приводить к уменьшению концентрации дырок и наоборот увеличение

концентрации дырок при введении акцепторной примеси будет приводить к

уменьшению концентрации электронов. Таким образом это соотношение

позволяет по известной концентрации основных носителей заряда

рассчитать значения концентрации неосновных.

Рассмотрим как влияет легирование на концентрацию носителей

заряда и их температурную зависимость. Соотношения (1.13) и (1.15)

показывают, что между концентрацией носителей заряда и положением

уровня Ферми в образце существует однозначное соответствие:

[pic]

Зная концентрацию носителей мы можем определить положение

уровня Ферми (из 1.15 и 1.16 ):

[pic] (1.21)

Рассмотрим как изменяется концентрация носителей заряда и положение

уровня Ферми в легированном полупроводнике. Вначале рассмотрим

электронный полупроводник (n - тип), который получен легированием

донорной примесью, c соответствующим энергетическим уровнем Ed. На

рис. 1.15 показано ожидаемое изменение с температурой положения

уровня Ферми (изменением с температурой ширины запрещенной зоны и

положения донорного уровня в виду малости этих величин можно

пренебречь).

Поскольку при температурах близки к 0К все донорные уровни

заполнены электронами (f = 1), а зона проводимости свободна от

электронов (f = 0), то уровень Ферми (f = 1/2) должен находиться

между этими двумя уровнями (функция Ферми-Дирака непрерывна), т.е. в

запрещенной зоне. При повышении температуры электроны начинают

переходить с донорного уровня зоны в зону проводимости, переходами

из валентной зоны для температурной области 1 можно пренебречь.

Энергетическая конфигурация для этого случай такая же как для

собственного полупроводника с шириной запрещенной зоны Ec-Ed, в

котором вместо эффективная плотность состояний в валентной зоне равна

Ed, поэтому для расчета концентрации электронов и уровня Ферми в этой

области мы можем воспользоваться формулой (1.13), сделав

соответствующие замены:

[pic] (1.22)

Из (1.22) видно, что при температурах близких к 0K уровень Ферми

находится посередине между Eси Ed и затем по мере ухода электронов с

примесного уровня (переходы 1 на рис. 1.15) приближается к уровню Ed.

При некоторой температуре Ts уровень Ферми достигнет уровня Ed

концентрация электронов в зоне проводимости будет равна Nd/2 (f=1/2).

При дальнейшем увеличении температуры почти все электроны с донорного

уровня оказываются в зоне проводимости и донорный уровень больше не

может поставлять электроны в зону проводимости, поэтому эту

температурную область (2 на рис. 1.15) называют областью истощения

примеси. В области 2 концентрация электронов с ростом температуры

увеличивается только за счет электронных переходов из валентной зоны

(как в собственном полупроводнике):

n (T) = Nd + ni(T) (1.23)

Соответственно для уровня Ферми в этой области мы можем записать см.

(1.21):

[pic] (1.24)

Начиная с некоторой температуры Ti начинает выполняться условие

ni>Nd, с этого момента имеет место переход от примесной

проводимости к собственной. При дальнейшем увеличении температуры

будет выполняться условие ni>>Nd (область 3) и членом Nd в (1.24)

можно пренебречь. Тогда (1.24) преобразуется к виду:

[pic]

Эту формулу мы уже получали для собственного полупроводника см.

(1.18). Таким образом в области высоких температур концентрация

носителей заряда для легированных материалов стремится к

концентрации носителей в собственном материале, т.е. легирование

перестает оказывать влияние на концентрацию носителей, поскольку

число электронов и дырок, генерируемых в результате переходов из

зоны проводимости становится значительно больше концентрации

введенной примеси (и соответственно концентрации носителей заряда

полученных при ее ионизации).

[pic]

Рис. 1.15. Диаграмма, поясняющая изменение положения уровня Ферми

с температурой, и возникновения трех различных областей изменения

с температурой концентрации носителей в донорном полупроводнике.

Из рис. 1.15 видно, что по характеру поведения уровня Ферми

температурой можно выделить три основные области: область собственной

проводимости (1), область истощения примеси (2) и область

вымораживания примеси.

[pic]

Рис. 1.16. Температурные зависимости концентрации электронов в

кремнии при различной степени легирования донорной примесью.

Концентрация доноров в см-3 проставлена около соответствующих кривых.

Областям с различным поведением уровня Ферми должно

соответствовать и различное поведение концентрации носителей заряда

см. (1.13) и (1.15) –основные формулы для расчета концентрации

носителей заряда. На рис. 1.16 схематически показано как будет

изменяться с температурой концентрация носителей заряда в

легированных полупроводниках (зависимости будут аналогичны для

материала легированного электронами и дырками). Представленные на

рисунке графики отличаются степенью легирования, при увеличении

степени легирования изменяются не только значения концентрации в

примесной области, но и значение температуры перехода к области

истощения Ts и к собственной проводимости Ti. Следует отметить, что

поскольку в большинстве полупроводниковых приборов используются

легированные полупроводники, то как правило их температурный диапазон

определяется областью истощения примеси Ts < T < Ti , в которой

концентрация основных носителей заряда слабо зависит от температуры

(к сожалению это не справедливо для неосновных носителей).

[pic]

Рис. 1.17. Диаграмма, поясняющая способ определения положения

уровня Ферми по температурной зависимости концентрации примеси в

образце кремния.

Контрольные вопросы.

1. Каковы основные положения положены в основу статистики

Ферми-Дирака (Больцмана), используемой для расчета

зависимости концентрации электронов и дырок от температуры?

2. Почему в полупроводниках чрезвычайно важно учитывать

температурную зависимость концентрации носителей заряда (в

металлах ее часто не учитывают, полагая постоянной )?

3. Какова вероятность заполнения электронами энергетического

уровня с энергией соответствующей энергии Ферми (уровня

Ферми)?

4. В какой зоне расположен уровень Ферми в металлах?

5. Где распложен уровень Ферми в чистых бездефектных

(собственных полупроводниках)?

6. Перечислите основные отличия температурной зависимости

концентрации носителей заряда в легированных и

нелегированных полупроводниках.

7. В какой области температур концентрации свободных носителей

заряда для легированных и нелегированных полупроводников

будут мало различаться?

8. Как можно, имея экспериментальную зависимость концентрации

электронов от температуры определить степень легирования

материала донорной примесью?

9. Как можно, имея экспериментальную зависимость концентрации

электронов от температуры определить положение уровня Ферми

для любой температурной точки?

10. Постройте зависимость концентрации носителей заряда от

положения уровня Ферми в германии, легированным донорной

примесью (например P) до концентрации 1015 см-3.

11. Постройте зависимость концентрации носителей заряда от

положения уровня Ферми в германии, легированным акцепторной

примесью (например In) до концентрации 1015 см-3.

Лекция 4

1.2.5. Зависимость скорости электрона от напряженности электрического поля.

Понятия эффективной массы и подвижности.

электрический ток в образце зависит не только от концентрации

носителей заряда, но и от скорости с которой они переносятся под

действием электрического поля. После того как мы научились

рассчитывать концентрацию свободных носителей в твердом теле

рассмотрим как ведут себя носители заряда в кристалле при наложении

на него электрического поля.

Рассмотрение начнем с поведения единичного свободного заряда в

нейтральной не взаимодействующей с зарядом среде (допустим в

вакууме) при наличии электрического поля E, которое накладывается на

среду в момент t=0. Электрическое поле приводит к возникновению силы

электростатического взаимодействия F, под действием которой электрон

начнет ускоряться.

[pic], (1.25)

где q, m – заряд и масса электрона, v и a его скорость и

ускорение. Таким образом в электрическом поле заряженная частица

разгоняется с постоянным ускорением пропорциональным напряженности

электрического поля и обратно пропорциональным ее массе. При этом

энергия частицы будет изменяться со временем по квадратичному закону

относительно импульса частиц или ее волнового вектора k (p= ћ k, где

ћ = h/(2?), h – постоянная Планка).

[pic] (1.26)

Поскольку приобретаемая заряженной частицей энергия не зависит от

направления электрического поля зависимость (1.5) симметрична

относительно импульса и волнового вектора (это параболоид выпуклость

которого определяется массой частицы).

Измерив зависимость энергии частицы от импульса (или волнового числа

мы можем ) используя (1.5) определить эффективную массу.

Действительно дважды продифференцировав (1.5) получим.

[pic] (1.27)

Предположим, что на частицу действует некоторая тормозящая сила F* о

существовании которой мы не знаем. Тогда уравнение (1.4) можно

переписать в следующем виде:

[pic] (1.28)

Соответственно, если для определения массы электрона (или любой

другой заряженной частицы) в некоторой взаимодействующей с частицей

среде воспользуемся формулой (1.6), то вместо массы электрона будет

рассчитана некоторая другая величина, которую будем назвать

эффективной массой электрона в данной среде.

[pic] (1.29)

Поскольку при движении электронов (или других заряженных частиц) в

твердом теле внутренние поля неизвестны, то их характеристики

используют понятие эффективной массы.

[pic]

Рис. 1.18. Изменение скорости заряженной частицы в электрическом

поле, при отсутствии взаимодействия со средой(1) и при торможении

частицы средой.

На рис. 1.5 показано как будет со временем изменяться скорость

свободной частицы в электрическом поле, в соответствии с (1.4) и (1.7

). Эти формулы справедливы для случая, когда заряженная частица не

испытывает столкновений и в соответствии с ними частицу можно

разогнать электрическим полем до бесконечной энергии. Именно этот

принцип был использован в первых линейных ускорителях элементарных

частиц.

По мере разгона частицы возрастает ее импульс и соответствующее ему

волновое число (величина, характеризующая величину волнового

вектора). На рис. 1.6. показаны соответствующие зависимости изменения

энергии частицы от величины волнового числа (импульса).

[pic]

Рис. 1.19. Зависимости энергии свободных зарядов от величины их

волнового числа (импульса).

Как видно из рис. 1.18. и рис. 1.19 набираемая в электрическом

поле энергия частицы зависит от скорости частицы (волнового числа) и

массы. Поскольку выпуклость кривой характеризуется ее второй

производной можно сделать вывод, что чем меньше эффективная масса

частицы, тем больше выпуклость, см. (1.27) и (1.29).

В кристалле энергия электрона (дырки) в разрешенной зоне не может

превысить значение потолка разрешенной зоны, следовательно импульс и

волновой вектор так же имеют ограничения, причем максимальное

значение волнового числа должно быть кратно постоянной решетки. На

рис. 1.20 показана рассчитанное изменение энергии электрона от

величины волнового числа (значения) импульса для кубического

кристалла.

[pic]

Рис. 1.20. Зависимость энергии от волнового числа (импульса) в

кристалле (a – постоянная решетки вдоль заданного направления)

Из рисунка видно, что в электронном представлении у потолка валентной

зоны знак эффективной массы изменяется (должно происходить отражение

частицы). Следует отметить, что у дна зоны проводимости энергия имеет

параболическую зависимость от импульса (волнового числа):

[pic] (1.31)

Если вести отсчет от дна зоны проводимости Ec = 0, то зависимость энергии

электрона от импульса (волнового вектора) будет такая же как для свободного

электрона см. (1.26). Это дает нам основание рассматривать электроны в зоне

проводимости, находящиеся вблизи дна зоны проводимости как свободные

частицы (иногда говорят квазисвободные или квазичастицы), считая что они

подчиняются тем же закономерностям, что и свободные частицы, но отличаются

от них величиной эффективной массы, которую вблизи дна зоны можно считать

постоянной (пока выполняется параболическое приближение).

Аналогичный подход справедлив и для дырки. Вводя дырку мы переходим от

электронного представления к дырочному, т.е. мы принимаем, то масса дырки

положительная, а заряд отрицательный и энергия ее отсчитывается от потолка

валентной зоны к ее дну, тогда дырка будет вести себя так же как электрон у

потолка валентной зоны. При этом энергия дырки у потолка валентной зоны

так же изменяется по параболическому закону как и для электрона:

[pic] (1.32)

Таким образом дырку, находящуюся потолка валентной зоны так же можно

рассматривать как свободную частицу.

В реальной жизни электрон в электрическом поле не может набирать

энергию до бесконечности, рано или поздно он столкнется с другой частицей и

отдаст ей накопленную энергию. Вероятность столкновений частиц в газах и

твердых телах характеризуется временем или длиной их свободного пробега.

Эти же величины характеризуют движение носителей заряда в твердом теле.

Схема, приведенная на рис. 1.21 показывает изменение скорости

электрона в образце, к которому приложено напряжение и поясняет

физический смысл подвижности. Электрон участвует в хаотическом

тепловом движении, причем в различные моменты времени его скорость

имеет случайное направление так что смещение его в любом направлении

равновероятно. В электрическом поле электрон приобретает

дополнительную скорость под действием поля, так что продолжая

участвовать в тепловом движении он постепенно смещается под действием

поля. Средняя скорость тем выше, чем больше длина свободного пробега

и чем меньше эффективная масса частицы.

[pic]

Рис. 1. 21. Диаграмма, поясняющая движение электрона в твердом теле

Поскольку электрон набирает энергию в поле за время свободного

пробега и отдает ее при столкновении с решеткой или другими

носителями заряда, то средняя скорость, которую приобретают носители

в направлении поля, будем называть ее скоростью дрейфа зарядов vдр

должна зависеть от средней длины свободного пробега ?.

[pic] (1.36)

Коэффициент пропорциональности между дрейфовой скоростью и

напряженностью электрического поля обычно называют подвижностью

носителей заряда и обозначают ?:

? = q?/m* (1.37)

Как видно из (1.36) и (1.37) подвижность имеет размерность в

системе СИ м2/(Вс) , широко так же используются значения подвижности

с размерностью см2/(Вс).

Предположим, что ток через ток образце создается электронами

концентрация которых n см-3 и средняя дрейфовая скорость vдр.

Поскольку величина тока равна заряду, проходящему через сечение

образца в единицу времени можем записать:

I=Sqnvдр=Sqn?E (1.38)

Для единичной площади из (1.35) получится уравнение для плотности

тока:

J = q?nE (1.39)

Поскольку в дифференциальной форме закон Ома имеет вид:

J = ?E, (1.40)

где ? – электропроводность образца (Ом.м или Ом.см )

Сравнив (1.39) и (1.40) получим формулу для электропроводности:

? = q?n (1.41)

Если электрический ток создается различными носителями (всего N

типов) с концентрацией каждого типа ni , то:

[pic] (1.42)

таким борзом мы видим, что проводимость материала определяется двумя

основными параметрами: подвижностью носителей заряда и их

концентрацией.

Величина подвижности пропорциональна длине свободного пробега,

которая зависит от частоты столкновений носителей заряда с решеткой

или атомами примеси. Поскольку при столкновениях носители отдают

энергию, а затем вновь набирают, т.е. энергия носителя релаксирует,

то принято говорить о механизмах ее релаксации. За время релаксации

принимают среднее время в течение которого электрон полностью отдает

свою энергию.

Существует множество механизмов рассеяния (релаксации ) энергии

свободных носителей заряда. Однако, для полупроводников, наиболее

существенные два: рассеяние на решетки и рассеяние на ионизованной

примеси.

Для рассеяния на решетке справедливо :

?r = ?r0T-3/2,

(1.43)

т.е. ?r ~ T-3/2 и с ростом температуры подвижность носителей падает.

Действительно длина свободного пробега носителей заряда тем меньше, чем

сильнее колеблется решетка l ~ 1/T , для скорости носителей справедливо v

~ T1/2 (mv2=3kT), ?r ~ ? = l/v ~ 1/T3/2. Таким образом рост, в случае если

доминирует рассеяние на решетке (примесей мало), то с ростом температуры

подвижность падает и следовательно падает проводимость ( как это имеет

место в металлах).

При рассеянии на заряженной примеси ?i ~ ? ~ T3/2 .

?i = ?i0T3/2

(1.44)

Таким образом, если в образце доминирует рассеяние на примесях, то с

ростом температуры подвижность возрастает и соответственно возрастает

проводимость.

Значения множителей ?r0 и ?i0 зависят от химического состава материала,

наличия в нем дефектов и примесей, степени их ионизации (для разных

образцов одного материала эти значения могут быть различными).

При одновременном действии нескольких механизмов рассеяния для расчета

подвижности можно воспользоваться понятием эффективной подвижности

носителей, которая будет определяться всеми, имеющими место механизмами

рассеяния. Для случая, когда доминирует рассеяние на колебаниях решетки и

ионизованной примеси для эффективной подвижности можно записать (считая,

что акты рассеяния - независимые события):

[pic][pic]

(1.45)

На рис. 1.21 схематически показана зависимость эффективной подвижности

от температуры в полупроводниковом материале с разной концентрацией

примеси. Графики построены в соответствии с формулами (1.43) и (1.45).

Кривая 1 соответствует образцу без примесей. Кривые 2, 3, 4 образцам с

разным содержанием примеси (большему номеру соответствует большее

содержание примеси). На этом же график приведены соответствующие кривые для

чисто решеточного ?r и примесного рассеяния: ?r2 , ?r3, ?r4.

Характер изменения электропроводности полупроводников с

температурой, в том случае, если не изменяется концентрация носителей

заряда будет определяться температурной зависимостью подвижности и

зависимости будут аналогичны показанным на рис. 2 (это может быть в

примесной области температурной зависимости проводимости).

[pic]

Рис. 1.21. Диаграмма, поясняющая температурную зависимость подвижности

?ef, при рассеянии на решетке ?r и ионизированной примеси ?iK.

1.2.6. Расчет электропроводности полупроводниковых кристаллов на основе

рассмотренных моделей.

Электропроводность полупроводникового кристалла определяется

электропроводностью электронов и дырок, поэтому для нее, используя

(1.42) можно записать:

? = ?n+?p = q?nn + q?pp = q(?nn + ?pp) (1.46)

Как видно из (1.46) электропроводность полупроводника зависит от

концентрации носителей заряда и подвижности, значения которых зависят

как от технологии так и температуры.

Собственный полупроводник.

Для чистого бездефектного кристалла с проводимостью близкой к

собственной справедливо n = p = ni см. (1.19), тогда для

электропроводности собственного полупроводника можно записать:

[pic] (1.50)

Поскольку ?0(T) слабо зависит от температуры в оценочных расчетах

принимают предэкспонциальный множитель постоянным равным значению

электропроводности при T>?. Формула (1.50) хорошо описывает

экспериментальную кривую электропроводности для чистых кристаллов с

совершенной структурой (см. рис. 1.1. ) и из экспериментальной

зависимости используя соотношение (1.50) можно определить такие

характеристические параметры материала как Eg и ?0.

Легированный полупроводник.

Для легированного кристалла можно выделить несколько температурных

областей как для изменения с температурой концентрации (см. п.п.

1.2.4 рис. 1.16 ), так и для изменения с температурой подвижности

носителей заряда (см п.п. 1.2.5 рис. 1.21). При этом в области, где

доминирует примесная приводимость ni(T)>nпр

полупроводник ведет себя как собственный (область I). В области низких

температур (область III), там где примесь не ионизована уровень Ферми

должен находиться выше донорного уровня (вероятность заполнения

электронами больше 1/2). По мере того, как температура повышается

доноры отдают электроны в зону проводимости и постепенно полностью

ионизуются (область II). Область II принято называть областью истощения

примеси, поскольку все атомы доноров отдали свои электроны, а

концентрация собственных электронов все еще очень мала, концентрация

электронов в этой области остается постоянной и примерно равной

концентрации примесных атомов. Именно эта температурная область и

является основной областью работы значительной части полупроводниковых

диодов и Поскольку в области II концентрация носителей изменяется

незначительно, то в электропроводности (кривая В) становится заметен

вклад подвижности, что приводит к некоторому падению электропроводности

с ростом температуры (что вообще говоря не характерно для

полупроводников) в некотором интервале температур за счет доминирования

рассеяния на колебаниях решетки. Затем с повышением температуры имеет

место переход к собственной проводимости, концентрация электронов и

электропроводность начинают возрастать экспоненциально с температурой.

Подводя итоги можем сделать вывод, что в соответствии с рассмотренной

моделью основными внешними факторами влияющими на электропроводность в

рамках рассмотренных моделей являются: ширина запрещенной зоны,

концентрация и тип примесей, глубина залегания примесных уровней.

В табл. 1.1 приведены параметры характеризующие кристаллы основных

полупроводников с собственной проводимостью. В этой таблице так же

приведены такие, параметры как работа выхода (расстояние от уровня Ферми в

собственном полупроводнике до нулевого уровня в вакууме) и сродство к

электрону расстояние от уровня Ферми в собственном полупроводнике до

нулевого уровня в вакууме)

Табл. 1.1.

Параметры полупроводниковых материалов

|Параметр, обозначение, единица измерения |Si |Ge |GaAs |

|Ширина запрещенной зоны, Eg, эВ при T = 0K |1,17 |0,74 |1,52 |

|Ширина запрещенной зоны, Eg, эВ при T = |1,11 |0,66 |1,43 |

|300K | | | |

|Температурный коэффициент ? = dE/dT*104, |-2.8 |-3,7 |-5,0 |

|эВК | | | |

|Работа выхода электронов, Ф, эВ, при T=300К|4,8 |4,4 |4,7 |

|Сродство к электрону, ? , эВ, при T=300К |4,05 |4,0 |4,07 |

|Подвижность электронов ?n, см2/(Вс), при |1350 |3800 |8600 |

|T=300К | | | |

|Подвижность дырок ?P, см2/(Вс), при T=300К |480 |1820 |400 |

|Собственная концентрация носителей заряда |1,61010 |2,51013|1,1017|

|ni, см-3 при T=300К | | | |

|Диэлектрическая проницаемость, ?, при |11,7 |16,3 |12 |

|T=300К | | | |

|Температура плавления ТК |1420 |937 |1238 |

|Коэффициент линейного расширения 10-6 , К-1|2,54 |5,82 |5,82 |

|Удельная теплоемкость Дж/(кг К), при T = |406 |310 | |

|300К | | | |

|Удельная теплопроводность Вт/(мК) |150 |60 |58 |

|Плотность ?, г/см3 |2,33 |5,32 |5,4 |

Табл. 1.2

Свойства примесей, используемых для легирования полупроводниковых

кристаллов.

| |Примесь* |

| |B |In |Al |P |Sb |

| |Se |Pb |Mg |Zn |Mn |

|E, эВ |Тип |E, эВ |Тип |E, эВ |Тип |E, эВ |Тип |E, эВ |Тип | |GaAs |0,058

|Д |0,058 |Д |0,029 |A |0,031 |A |0,113 |A | |

Сравнение свойств Si и Ge действительно подтверждает общие

свойства, следующее из положения элементарного полупроводника в

таблице Д.И. Менделеева: чем выше стоит элемент в столбце таблице

элементов, тем больше у него ширина запрещенной зоны.

В таблице 1.2 приведены характеристики некоторых примесей,

используемых для легирования этих материалов.

Из данных таблицы 1.2 следует, что для приведенных легирующих

примесей энергия активации меньше тепловой энергии при Т=300К, это

означает, что при комнатной температуре практически все эти примеси

ионизованы.

[pic]

Рис. 1.22 Диаграммы изменения с температурой положения уровня

Ферми (А), концентрации носителей заряда (Б), проводимости (В),

подвижности (Г)

На рис. 1.22 показано изменение с температурой основных параметров,

используемых при расчете проводимости легированного кристалла: положения

уровня Ферми (А) , концентрации носителей заряда (Б), проводимости (В) и

эффективной подвижности (Г) в зависимости от обратной температуры.

Контрольные вопросы.

1. Какой из перечисленных материалов при комнатной температуре имеет

самую низкую собственную проводимость: Ge, Si, GaAs?

2. У какого из перечисленных материалов самая высокая собственная

концентрация носителей заряда Ge, Si, GaAs?

3. Как изменится подвижность электронов, если возрастет их среднее время

свободного пробега?

4. Если в кристалл Si с собственной проводимостью ввели примесь Al, то

какой тип проводимости приобретет образец при комнатной температуре?

5. В кристалл кремния с собственной проводимостью ввели примесь фосфора,

какой тип проводимости будет иметь образец при комнатной температуре?

6. Почему при введении в полупроводниковый кристалл легирующей примеси

его электропроводность в области низких температур изменяется значительно

сильнее, чем в области высоких ?

7. Почему в кристаллах кремния с собственной проводимостью преобладает

электронная составляющая проводимости?

8. Где будет находиться уровень Ферми в кристалле Si, легированном

фосфором при температуре близкой к абсолютному нулю?

9. Где будет находиться уровень Ферми в кристалле Si, легированном

фосфором при температуре близкой к температуре плавления этого материала?

Лекция 5

1.2.7. Неравновесные электроны и дырки. Рекомбинация неравновесных

носителей заряда.

Носители заряда, возникающие под действием тепла называются

равновесными.

Внешнее воздействие на полупроводниковый кристалл может создавать

избыточную концентрацию носителей заряда над равновесной. В этом

случае говорят, что имеет место инжекция. После прекращения инжекции

через некоторое время восстанавливается равновесие и концентрация

носителей заряда возвращается к равновесной. Процессом способствующим

восстановлению равновесья является рекомбинация.

Акт рекомбинации можно рассматривать как такое взаимодействие

электрона и дырки, в результате которого свободный электрон возвращается

из зоны проводимости в валентную зону, а энергия затраченная на переброс

электрона из валентной зоны в зону проводимости выделяется в виде

излучения или тепла.

Если полупроводник находится в равновесных условиях, то число

носителей заряда, возникающих в нем в результате тепловой генерации

равно числу носителей, исчезающих в результате рекомбинации и

равновесная концентрация носителей не изменяется.

Соответствующее кинетическое уравнение, характеризующее изменение

концентрации носителей заряда при наличии инжекции можно записать в

следующем виде:

[pic] (1.52)

где G и U - соответственно скорость генерации и скорость рекомбинации

(число электронов генерируемых или рекомбинирующих в единице объема в

единицу времени), n - концентрация электронов в данный момент времени,

n0 - равновесная концентрация электронов, G - генерационный член, ?n -

характеристическое время жизни, ?n - избыточная над равновесной

концентрация носителей заряда. Решение этого уравнения имеет вид:

[pic] (1.53)

где A - зависит от начальных условий. Аналогичные соотношения можно

записать для дырок:

(1.54)

В соответствии с (22, 23) константы ?n и ?p время жизни электронов и

дырок можно определить как время в течение которого концентрация

неравновесных (избыточных) носителей заряда убывает в e раз. Поскольку

мы говорим избыточных, следовательно время измеряется после снятия

возбуждения. Таким образом время жизни характеризует длительность

пребывания в разрешенной зоне неравновесных носителей заряда.

Существует несколько механизмов рекомбинации, часто говорят каналов.

Все эти каналы работают параллельно, поэтому существует некоторое

эффективное время жизни для которого, учитывая что все каналы

рекомбинации независимые можно написать:

[pic] (1.55)

где ?ef - эффективное время жизни электронов (или дырок),

?i - время жизни, характеризующее i-й канал. Как видно из (22), если

скорости рекомбинации по различным каналам значительно отличаются, то

эффективное время жизни будет определяться тем каналом для которого

время жизни минимально.

На рис. 1.23 показаны две возможные схемы рекомбинации. Левая схема

соответствует случаю, когда свободные электрон и дырка непосредственно

рекомбинируют сталкиваясь друг с другом, это так называемая межзонная

рекомбинация. Она доминирует в том случае, когда концентрации свободных

электронов и дырок велики, что имеет место в узкозонных материалах. В

таких материалах как Ge, Si, GaAs доминирует рекомбинация через

промежуточный уровень ловушки (правая схема на рис. 1.23).

При рекомбинации через промежуточный уровень ловушка сначала

захватывает носитель одного знака, предположим электрон (1), и

заряжается отрицательно (2). Затем она захватывает носитель другого

знака - дырку (3), которая рекомбинирует с локализованным электроном и

переводит ловушку вновь в нейтральное состояние (4).

[pic]

(а)

(б)

Рис. 1.23. Схемы рекомбинации электронов и дырок: межзонная (а) и

чрез рекомбинационный уровень ловушки (б).

Таким образом, переход электрона из зоны проводимости в валентную

зону происходит в два этапа: I- из зоны проводимости на

рекомбинационный уровень, II - с рекомбинационного уровня в валентную

зону (см. верхний рисунок)

На рисунке 13 показаны возможные процессы при взаимодействии

носителей из разрешенных зон с ловушками: захват электрона (1) с

последующей его рекомбинацией (2), захват дырки (3) с последующей ее

рекомбинацией (4), эмиссия захваченного электрона (5), эмиссия

захваченной дырки (6).

[pic]

Рис. 1.24. Возможные процессы при взаимодействии носителей из

разрешенных зон с ловушками.

После того как носитель был захвачен на ловушку для него существует

две возможности: быть выброшенным обратно в зону из которой он пришел,

прорекомбинировать с дыркой, которая захватывается заряженной ловушкой.

Если процесс эмиссии преобладает над процессом рекомбинации, то такие

уровни работают как уровни прилипания. После того как носитель

некоторое время находился в локализованном состоянии он вновь

становится свободным и может принимать участие в переносе заряда и

соответственно электропроводности. Во втором случае носитель

рекомбинирует и в процессах переноса заряда больше не участвует.

Диффузионный и дрейфовый токи.

Диффузия (от лат. diffusio - распространение, растекание,

рассеивание) - неравновесный процесс, вызываемый тепловым движением

частиц, приводящий к установлению равновесия и выравниванию

концентраций (при постоянстве температуры и отсутствии внешних сил).

Если частицы заряжены, то их диффузионное перемещение приводит к

появлению диффузионных токов.

Диффузионный поток направлен из области высокой концентрации в

область низкой концентрации. Свободные носители заряжены. Следовательно

любое их перемещение, в том числе и диффузионное, приводит к появлению

электрических токов, которые так и будем называть диффузионными.

[pic]

Рис. 1.25. Схема, иллюстрирующая возникновение диффузионных токов

электронов и дырок.

Схема на рис. 1.25 иллюстрирует возникновение диффузионных токов

электронов и дырок. Следует обратить внимание, что потоки электронов и

дырок на схеме направлены в одну сторону, а токи дырочный и

электронный токи в разные. Направление дырочного тока совпадает с

направлением потока, электронного противоположно, поэтому токи

компенсируют друг друга уменьшая общий диффузионный ток.

Скорость диффузии (диффузионный поток) пропорционален градиенту

концентрации, поэтому для диффузионных токов можно записать:

[pic] (1.61)

где Dn и Dp соответственно коэффициенты диффузии электронов и

дырок. Коэффициенты диффузии носителей заряда связаны с их подвижностью

соотношением Эйнштейна:

[pic] (1.62)

Коэффициент диффузии тем выше, чем выше подвижность носителей

заряда.

Токи, возникающие во внешних полях принято называть дрейфовыми,

поскольку внешнее поле не прекращая хаотического теплового движения

носителей заряда заставляет их смещаться (дрейфовать) в направлении,

которое зависит от знака носителя и направления внешнего поля. К

дрейфовым токам можно отнести и рассмотренные ранее токи проводимости

токи (их иногда называют омическими), используя (1.56) для них можно

записать:

[pic] ( 1.57)

Таким образом процессы, определяющие перенос зарядов в

полупроводниках будут определяться четырьмя токами: дрейфовыми токами

электронов и дырок, возникающими при наличии электрического поля и

диффузионными токами электронов и дырок, возникающими в том случае,

когда существует градиент концентрации носителей заряда.

Все четыре тока связаны между собой уравнением непрерывности (4),

которой явилось следствием закона сохранения заряда.

1.2.8. Уравнение непрерывности.

Для полупроводника, в объеме которого происходит генерация и

рекомбинация носителей заряда, используя (4) запишем:

[pic] (1.58)

где G и U соответственно члены характеризующие скорость генерации и

скорость рекомбинации носителей заряда. Используя (21) и (24) и

разделив левую и правую части уравнения на величину заряда электронов

получим:

[pic] (1.59)

Для одномерного случая разделяя члены, относящиеся к электронам и

дыркам , учитывая, что полный ток равен:

[pic] (1.60)

получим:

[pic] (1.61)

Связь между распределением заряда и электрического поля в образце

устанавливается с помощью уравнения Пуассона:

[pic] (1.63)

Для полупроводника близкого к собственному основными зарядами

являются электроны и дырки, поэтому:

[pic] (1.64)

Подставляя ?E/?x в (31) получим:

[pic] (1.65)

Считая, что в образце выполняется условие электронейтральности:

?p??n и ?p ? ?n. суммируя уравнения для электронов и дырок получим:

[pic] (1.66)

где D и ? коэффициенты , характеризующие совместную диффузию и дрейф

электронов и дырок, поэтому их и называют коэффициентами амбиполярной

диффузии и амбиполярной подвижности:

[pic] (1.67)

Уравнение (1.67) описывает основные изменения происходящие с

носителями заряда и соответственно токами в полупроводниковых

материалах и соответственно приборах на их основе. Это уравнение в

правой части содержит три члена: генерационно-рекомбинационный,

диффузионный и дрейфовый. Это уравнение широко используется при анализе

процессов в полупроводниковых приборах, поскольку позволяет значительно

упростить расчеты, по существу заменив операции с четырьмя потоками

носителей операциями с одним.

Пример.

Предположим, что у нас имеется полупроводниковый образец в центре

которого инжектируется избыточная концентрация электронов и дырок

(?n ? ?p) , такое распределение можно создать коротким лазерным

импульсом с энергией квантов большей ширины запрещенной зоны. Как со

временем будет изменяться этот импульс, если к образцу приложить

внешнее электрическое напряжение (рис. 1.26), которое создаст в нем

электрическое.

Ответ на поставленный вопрос поможет дать уравнения (1.66), (1.67)

при этом не обязательно решать само уравнение, достаточно

воспользоваться введенными характеристическими коэффициентами,

характеризующими совместно движение электронов и дырок (36).

Действительно направление движения совпадает с электрическим полем,

если подвижность - положительная величина и направлено в другую

сторону, если подвижность - отрицательная величина.

Допустим, что рассматриваемый полупроводник n типа, тогда n>>p и из

(1.67) получим, что ? ??p. Следовательно перемещение импульса носителей

заряда в электрическом поле будет определяться перемещением дырок

vдр= ?pE.

Допустим, что рассматриваемый полупроводник p типа, тогда p>> n и из

(1.67) получим, что ? ??n. Следовательно перемещение импульса носителей

заряда в электрическом поле будет определяться перемещением электронов

vдр= - ?nE.

В случае собственного полупроводника (n = p = ni) ? = 0 и

соответственно vдр= ?E.

Рассмотренные варианты проиллюстрированы на нижней диаграмме рис.

1.26.

[pic]

Рис. 1.26. Дрейф инжектированного светом электронно-дырочного

импульса в электрическом поле.

В процессе дрейфа импульс будет расплываться за счет диффузии и

общее число избыточных носителей заряда в нем будет уменьшаться в

результате рекомбинации.

Приведенный пример демонстрирует эффективность уравнения (35) при

анализе процессов в различных областях полупроводниковых приборов. Так

биполярные полупроводниковые приборы (диоды, транзисторы, тиристоры и

др) состоят из чередующихся областей p и n типа. Поэтому для анализа

процессов в различных областях используются уравнения для неосновных

носителей заряда.

Для p области p>>n и соответственно будут иметь место следующие

уравнения.

[pic] (1.68)

Каждое из приведенных уравнений является частным случаем более

общего уравнения (1.66) и используется для анализа процессов в

полупроводниковых материалах и приборах именно для частных случаев, что

значительно упрощает поиск возможного решения. Решение уравнения (1.66)

достаточно в общем виде весьма сложно и, если это требуется по условиям

задачи, то обычно выполняется численными методами с использованием

соответствующих компьютерных программ.

Аналогично для n типа n>>p Для p соответственно будут иметь место

следующие уравнения:

[pic] (1.69)

-----------------------

[pic]

Страницы: 1, 2