Затухание ЭМВ при распространении в средах с конечной проводимостью

Затухание ЭМВ при распространении в средах с конечной проводимостью

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

Харьковский национальный университет

им. В.Н. Каразина

Радиофизический факультет

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

«Затухание ЭМВ при распространении в средах с конечной проводимостью»

Руководитель:

Колчигин Н.Н.

Студент группы РР-32

Бойко Ю.В.

Харьков 2004

Содержание

Введение 4

Основная часть 5

1. Вывод уравнений для плоских волн 5

2. Связь характеристик распространения с параметрами среды 9

3. Вычисление затухания в данной среде 14

Список использованной литературы 15

ЗАДАНИЕ

1.Изучить общие сведения и формулы.

2.Построить зависимость электрической компоненты поля от глубины

проникновения.

3.Вычислить затухание на глубине Н=0,5 м, (=10 м, в пресной воде ((=80,

(=10-3 См/м)

Введение

Распространение электромагнитных волн широко рассматривается в литературе,

но в ней большое внимание уделяется распространению волн в диспергирующих

средах и законам геометрической оптики. В данной работе рассматривается

связь характеристик распространения с параметрами среды и затухание

элекромагнитных волн в средах с конечной проводимостью

Основная часть

1. Вывод уравнений для плоских волн

Рассмотрим электромагнитный волновой процесс, векторы

[pic] и [pic]которого могут быть представлены в виде

[pic]=[pic]((,t), [pic]=[pic]((,t)

(1.1)

[pic]

Рис. 1.1. Направление распространения плоской волны

Здесь (рис. 1.1.) [pic] есть расстояние от начала

координатной системы до плоскости

[pic]

а [pic] является постоянным единичным вектором. Так как производные по

координатам будут равны [pic] и т. д., то

[pic]

[pic] (1.2)

[pic] (1.3)

[pic]

Следовательно, для плоской волны уравнения Максвелла принимают вид

[pic]

[pic] (1.4)

[pic], [pic]

Последние два уравнения означают независимость проекций [pic] и [pic]

на направление распространения от координаты (, т. е. E( =const и H(=const

в данный момент времени. Исследуем их поведение во времени. Для этого

второе уравнение (1.4) умножим скалярно на [pic]:

[pic]

Так как

[pic]

то

[pic]

и

[pic][pic]

или [pic], т.е. dH( = 0, H( = const. Для исследования поведения E(

умножим скалярно первое из уравнений (1.4) на [pic]:

[pic]

Так как [pic], получаем

[pic]

Прибавим к этому равенству [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Следовательно, при конечной ( компонента E( экспоненциально убывает со

временем, т. е. статическое электрическое поле не может поддерживаться

внутри проводника.

Найдем уравнения для [pic] и [pic]отдельно. Для этого

продифференцируем по t первое из уравнений (1.4)

[pic][pic]

Найдем [pic] из второго из уравнений (1.4), продифференцировав

его по (:

[pic]

Получаем

[pic][pic]

откуда

[pic]

[pic], так как [pic][pic]

Отсюда следует

[pic] (1.6)

Аналогично

[pic] (1.7)

Эти уравнения можно решить методом разделения переменных,

идем решение для комплексной амплитуды Е поля [pic], Положив

E=f1(()f2(()

Получаем

[pic]

[pic] (1.8)

Общее решение для f1 будет

[pic]

Частное решение для f2 возьмем в виде

[pic]

Таким образом, решением для [pic] будет выражение

[pic]

Решая уравнение (1.7), получим аналогичное решение для [pic]

[pic]

Подставив эти значения во второе из уравнений (1.4), получим

[pic]

откуда

[pic]

Так как ( в этом равенстве может принимать любые значения,

коэффициенты при экспонентах должны равняться нулю:

[pic]

[pic]

Поэтому

[pic]

[pic] (1.9)

Отсюда следует ([pic][pic])=0 (так как ([pic][[pic][pic]])=0), т. е.

векторы [pic] и [pic]ортогональны к направлению [pic] и друг к другу.

2. Связь характеристик распространения с параметрами среды

Установим связь между р и k. Из (1.8) получим

[pic]

[pic] (2.1)

Если задана периодичность в пространстве, т. е. k, то р можно

найти из уравнения (2.1)

[pic]

Тогда

[pic]

где

[pic]

Распространение возможно, если q действительно. Волновой процесс, в

котором поверхности равных амплитуд и поверхности равных фаз являются

плоскостями, называется плоской волной. Простейшим случаем плоской волны

является плоская однородная волна. В плоской однородной волне плоскости

равных амплитуд совпадают с плоскостями равных фаз. Фазовая скорость такой

волны будет равна

[pic]

Если [pic], то q — мнимое, и распространения нет: существует

пространственная периодичность по ( и монотонное затухание. Начальная форма

волны не смещается вдоль оси (, волновое явление вырождается в диффузию.

Частный случай временной зависимости р = i(. Тогда

[pic]

[pic] (2.2)

Таким образом, при [pic] волновое число k комплексно. Обозначим

k=(+i(, где ( — фазовая константа, ( — коэффициент затухания. Тогда

[pic]

[pic]

[pic] (2.3)

Следовательно, при р=i( имеет место волновой процесс с затуханием,

если [pic].

Исследуем фазовую скорость волны в среде с конечными ( и (. Поскольку

волновое число комплексно: k=(+i(, имеем

[pic]

([pic]2 считаем равным нулю).

В общем случае [pic]1 также комплексно: [pic],

[pic]

где (, (, [pic], ( — действительные числа. Отсюда получаем выражение

фазовой скорости

[pic]

Действительно, так как [pic] представляет скорость, с которой

движется плоскость постоянной фазы

[pic]=const

то

[pic]

откуда

[pic]

Для определения степени затухания и фазовой скорости нужно

вычислить ( и (. Из уравнений (2.3) получаем

[pic]

[pic]

Введем обозначение

[pic]

тогда

[pic]

или

[pic]

Здесь нужно оставить знак +, так как ( — действительное число

[pic] (2.4)

Аналогично получим для (

[pic] (2.5)

Отсюда находим фазовую скорость

[pic] (2.6)

Зависимость фазовой скорости от частоты сложная: если (, (, ( не

зависят от частоты, то с увеличением ( фазовая скорость увеличивается, т.

е. в сложной волне гармоники убегают вперед.

Рассмотрим зависимость поглощения (, определяемого равенством (2.5),

от электрических характеристик среды. Член [pic] представляет отношение

[pic], так как [pic]. Следовательно,

[pic]

Но [pic], поэтому при tg(> 1 формулы (2.4), (2.5) можно упростить и привести к

виду

[pic]

Фазовая скорость

[pic]

3. Вычисление затухания в данной среде

Электромагнитная волна (=10м проникает в воду пресного водоема ((=80, (=10-

3См/м) на глубину 0,5м.

[pic]

[pic]

[pic], tg(<<1

[pic]

[pic]

[pic] 1/м

[pic], на глубине 0,5 м

Список использованной литературы

1. Семенов А.А. Теория электромагнитных волн.-М.: Изд-во МГУ,1968.

2. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны.-М.:Сов.Радио, 1957.

3. Баскаков С.И. Электродинамика и распространение волн.-М.: Высш.шк.,

1992.

4. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах.-М.: Наука ,1973.

5. Тамм И.Е. Основы теории электричества.-М.: Наука, 1989.