Основы теории систем и системный анализ (лекции)

Rxy= .                                                  {2 - 11}  

Этот коэффициент может принимать значения  от -1 до +1  —  в зависимости от тесноты связи между данными случайными величинами.

Если коэффициент корреляции  равен нулю, то X и Y называют некоррелированными.  Считать их независимыми обычно нет оснований —  оказывается,  что  существуют  такие,  как  правило —  нелинейные  связи   величин, при  которых  Rxy = 0, хотя величины зависят друг от друга. Обратное всегда верно —  если  величины независимы, то Rxy = 0.  Но, если  модуль Rxy = 1, то есть все основания предполагать наличие линейной связи между  Y и X. Именно поэтому часто говорят о линейной корреляции при  использовании такого способа оценки связи между СВ.

Отметим еще один способ оценки корреляционной связи двух случайных величин — если просуммировать произведения отклонений каждой из них от своего среднего значения, то полученную величину —

Сxy= S (X - Mx)·(Y - My)

или ковариацию величин X и Y отличает от коэффициента корреляции два показателя:  во-первых, усреднение (деление на число наблюдений или пар X, Y) и, во-вторых, нормирование путем деления на соответствующие среднеквадратичные отклонения.

Такая оценка связей между случайными величинами в сложной системе является одним из начальных этапов системного анализа, поэтому  уже  здесь  во всей остроте встает вопрос о доверии к выводу о наличии  или  отсутствии связей между двумя СВ.

В современных методах системного анализа обычно поступают так. По найденному значению R вычисляют вспомогательную величину:

W = 0.5 Ln[(1 + R)/(1-R)]                                                            {2 - 12}

и вопрос о доверии к коэффициенту корреляции сводят к доверительным интервалам для случайной величины W, которые определяются стандартными таблицами или формулами.

В отдельных случаях системного анализа приходится решать  вопрос  о  связях нескольких (более 2) случайных величин или вопрос  о  множественной корреляции.

Пусть X, Y и Z - случайные величины, по наблюдениям над которыми  мы установили их средние Mx, My,Mz и среднеквадратичные отклонения Sx, Sy, Sz.

Тогда можно найти парные коэффициенты корреляции Rxy, Rxz, Ryz по приведенной выше формуле. Но этого явно недостаточно - ведь мы  на  каждом из трех этапов попросту забывали о наличии третьей случайной  величины! Поэтому в  случаях  множественного  корреляционного  анализа иногда требуется отыскивать т. н. частные коэффициенты корреляции —  например,  оценка виляния Z  на связь между X и  Y производится с помощью коэффициента

Rxy.z  =                                                        {2 - 13}

И, наконец, можно поставить вопрос — а какова связь между данной СВ и совокупностью остальных? Ответ на такие вопросы дают коэффициенты множественной корреляции   Rx.yz, Ry.zx, Rz.xy,  формулы для вычисления которых построены по тем же принципам  —  учету связи одной из величин со всеми  остальными в совокупности.

     На сложности вычислений всех описанных  показателей  корреляционных связей можно не обращать особого внимания -  программы  для  их  расчета достаточно просты и имеются в готовом виде  во  многих  ППП  современных компьютеров.

     Достаточно понять главное —  если при формальном  описании  элемента сложной системы, совокупности таких элементов в виде подсистемы или, наконец, системы в целом, мы рассматриваем связи между отдельными ее  частями, —  то степень тесноты этой связи в виде влияния одной СВ на другую  можно и нужно оценивать на уровне корреляции.

В заключение заметим еще одно —  во всех случаях системного  анализа на корреляционном уровне обе случайные величины при парной корреляции или все при множественной считаются "равноправными" —  т. е. речь идет  о  взаимном влиянии СВ друг на друга.

Так бывает далеко не всегда - очень часто вопрос о связях Y и X ставится в иной плоскости —  одна из  величин  является  зависимой  (функцией) от другой (аргумента).

2.6  Линейная регрессия

В тех случаях, когда из природы процессов в системе или  из  данных наблюдений над ней следует вывод о нормальном законе распределения  двух СВ - Y и X, из которых одна является независимой, т. е. Y  является  функцией X, то возникает соблазн определить  такую  зависимость  “формульно”, аналитически.

В случае успеха нам будет намного  проще  вести  системный анализ —  особенно для элементов системы типа "вход-выход”. Конечно, наиболее заманчивой является перспектива линейной  зависимости типа Y = a + b·X .

Подобная задача носит  название  задачи регрессионного анализа и предполагает следующий способ решения.

Выдвигается следующая гипотеза:

H0:  случайная величина Y при  фиксированном значении  величины X  распределена нормально  с математическим ожиданием 

My = a + b·X   и дисперсией Dy, не зависящей от X.          {2 - 14}

При наличии результатов наблюдений над парами Xi и Yi предварительно вычисляются средние значения My и Mx, а затем  производится оценка коэффициента b в виде 

b =   = Rxy                                                {2 - 15}

что следует из определения коэффициента корреляции  {2 - 11}.

После этого вычисляется оценка для  a  в виде

a = My - bMX                                                                               {2 - 16}

 и производится проверка значимости полученных результатов.          Таким образом,  регрессионный анализ является мощным, хотя  и  далеко не всегда  допустимым расширением корреляционного анализа, решая  всё  ту же задачу оценки связей в сложной системе.

2.7  Элементы теории статистических решений

Что такое - статистическое решение? В качестве простейшего  примера рассмотрим ситуацию, в которой вам предлагают сыграть в такую игру:    

· вам заплатят 2 доллара, если подброшенная монета упадет вверх гербом;

· вы заплатите 1 доллар, если она упадет гербом вниз.             

Скорее всего, вы согласитесь сыграть, хотя понимаете степень риска. Вы  сознаете, "знаете" о равновероятности появления  герба  и  "вычисляете"  свой выигрыш  0.5 · 1- 0.5 · 1= + $0.5.

Усложним игру —  вы видите, что монета несколько изогнута и  возможно будет падать чаще одной из сторон. Теперь решение играть или  не  играть по-прежнему зависит от вероятности выигрыша, которая не  может  быть заранее (по латыни — apriori) принята равной 0.5.

Человек, знакомый со  статистикой, попытается оценить эту вероятность с помощью опытов,  если  конечно  они возможны и стоят не очень дорого. Немедленно возникает вопрос - сколько таких бросаний вам будет достаточно?

Пусть с вас причитается 5 центов за одно  экспериментальное  бросание, а ставки в игре составляют $2000  против $1000. Скорее  всего, вы  согласитесь  сыграть,  заплатив  сравнительно  небольшую  сумму   за 100..200 экспериментальных бросков. Вы, наверное, будете  вести  подсчет удачных падений и, если их число составит 20 из 100, прекратите эксперимент и сыграете на ставку $2000 против $1000, так  как ожидаемый выигрыш оценивается в  0.8·2000 + 0.2·1000 -100·0.05=$1795.                         

В приведенных примерах главным для принятия  решения  была  вероятность благоприятного исхода падения монетки. В первом случае  — априорная вероятность, а во втором —  апостериорная. Такую информацию принято называть данными о состоянии природы.

         Приведенные примеры имеют самое непосредственное отношение к существу нашего предмета. В самом деле —  при системном управлении приходится принимать  решения в условиях, когда последствия таких решений заранее достоверно неизвестны. При этом вопрос:  играть или не играть — не стоит! "Играть" надо, надо управлять системой.      Вы спросите - а как же запрет на эксперименты? Ответ можно дать такой —  само поведение системы в обычном  ее  состоянии  может  рассматриваться как эксперимент, из которого при правильной организации  сбора  и обработки информации о поведении системы можно ожидать получения  данных для выяснения  особенности системного подхода к решению задач управления.

3.Этапы системного анализа

3.1  Общие положения

В большинстве случаев практического применения  системного  анализа для исследования свойств и последующего оптимального управления системой можно выделить следующие основные этапы:                             · Содержательная постановка задачи

  · Построение модели изучаемой системы

  · Отыскание решения задачи с помощью модели

  · Проверка решения с помощью модели

  · Подстройка решения под внешние условия

  · Осуществление решения

Остановимся вкратце на каждом из этих этапов. Будем выделять наиболее сложные в понимании этапы и пытаться усвоить методы их осуществления на конкретных примерах.            

         Но уже сейчас отметим, что в каждом конкретном случае этапы системного занимают различный “удельный вес” в общем объеме работ  по временным, затратным и интеллектуальным показателям. Очень часто трудно провести четкие границы — указать, где оканчивается данный этап и начинается очередной.

3.2 Содержательная постановка задачи                          

Уже упоминалось, что в постановке задачи системного  анализа  обязательно  участие  двух сторон: заказчика (ЛПР) и исполнителя данного системного  проекта. При этом участие заказчика не ограничивается финансированием  работы - от него требуется (для пользы дела) произвести анализ системы,  которой он управляет, сформулированы цели и оговорены  возможные  варианты действий. Так, — в упомянутом ранее примере системы управления  учебным   процессом одной из причин тихой кончины ее была та, что одна из подсистем руководство Вузом практически не обладала свободой действий по отношению к подсистеме обучаемых.             

Конечно же, на этом этапе должны быть установлены  и  зафиксированы понятия эффективности деятельности системы. При этом в соответствии с принципами системного подхода  необходимо учесть максимальное число  связей как между элементами системы, так и по отношению к внешней среде.   Ясно, что исполнитель-разработчик не всегда может, да  и  не  должен иметь профессиональные знания именно тех процессов, которые имеют  место в системе или, по крайней мере,     являются главными.  С другой стороны совершенно обязательно наличие таких знаний у  заказчика —  руководителя или администратора системы. Заказчик должен знать что надо  сделать,  а  исполнитель — специалист в области системного анализа — как это сделать. 

Обращаясь к будущей вашей профессии можно понять, что вам надо научиться и тому и другому.  Если вы окажетесь в роли администратора,  то  к профессиональным знаниям по учету и аудиту весьма уместно иметь  знания в области системного анализа —  грамотная  постановка  задачи,  с  учетом технологии решения на современном уровне будет гарантией успеха.  Если же вы окажетесь в другой категории —  разработчиков, то вам  не обойтись без  “технологических" знаний в области учета и  аудита.  Работа по системному анализу в экономических системах вряд ли окажется эффективной без специальных знаний в области экономики. Разумеется, наш курс затронет только одну сторону —   как  использовать системный подход в управлении экономикой.                         

3.3  Построение модели изучаемой системы в общем случае                       

Модель изучаемой системы в самом лаконичном виде можно  представить в виде зависимости

E = f(X,Y)                                                                                        {3 - 1}

где:           

E —  некоторый количественный показатель эффективности системы в плане достижения цели ее существования T, будем называть его — критерий эффективности.

X  —  управляемые переменные системы —  те, на которые мы можем воздействовать или управляющие воздействия;                        

Y —  неуправляемые, внешние по отношению к  системе  воздействия;  их  иногда называют состояниями природы.                           

Заметим, прежде всего, что возможны ситуации, в которых нет никакой необходимости учитывать состояния природы. Так, например,  решается стандартная  задача размещения запасов нескольких видов продукции и при этом можем найти E вполне однозначно, если известны значения Xi  и, кроме того, некоторая информация о свойствах анализируемой системы.

В таком случае принято говорить о принятии управляющих решений    или о стратегии управления в условиях определенности.

Если же с воздействиями окружающей среды, с состояниями природы мы вынуждены считаться, то  приходится управлять системой в условиях неопределенности или, еще хуже —  при наличии противодействия. Рассмотрим первую, на непросвещенный взгляд — самую простую, ситуацию.

3.4 Моделирование в условиях определенности

Классическим примером простейшей задачи системного анализа в условиях определенности может служить задача производства и поставок товара. Пусть некоторая фирма должна производить и поставлять продукцию клиентам равномерными партиями в количестве N =24000 единиц в год. Срыв поставок недопустим, так как  штраф за это можно считать бесконечно большим.

Запускать в производство приходится сразу всю партию, таковы условия технологии. Стоимость хранения единицы продукции Cx=10 копеек в месяц, а стоимость запуска одной партии в производство (независимо от ее объема) составляет  Cp =400 гривен.

Таким образом, запускать в год много партий явно невыгодно, но невыгодно и выпустить всего 2 партии в год — слишком велики затраты на хранение!  Где же “золотая середина”, сколько партий в год лучше всего выпускать?

Будем строить модель такой системы. Обозначим через n размер партии и найдем количество партий за год —  p = N / n  24000 / n.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

Получается, что интервал времени между партиями составляет 

t = 12 / p (месяцев), а средний запас изделий на складе  —  n/2 штук.

Сколько же нам будет стоить выпуск партии в n штук за один раз?

Сосчитать нетрудно — 0.1 · 12 · n / 2  гривен  на складские расходы в год и 400p  гривен за запуск  партий по n штук изделий в каждой.

В общем виде годовые затраты составляют

E =  Tn / 2 + N / n                                                 {3 - 2}

где T = 12 —  полное время наблюдения в месяцах.

Перед нами типичная вариационная задача:  найти такое n0, при котором сумма   E достигает минимума.

Решение этой задачи найти совсем просто — надо взять производную по n и приравнять эту производную нулю. Это дает

n0 =    ,                                                                      {3 - 3}

что для нашего примера составляет 4000 единиц в одной партии и соответствует интервалу выпуска партий  величиной  в 2 месяца. 

Затраты при этом минимальны и определяются как 

E0 =  ,                                                   {3 - 4}

что для нашего примера составляет 4800 гривен в год.

Сопоставим эту сумму с затратами при выпуске 2000 изделий в партии или выпуске партии один раз в месяц (в духе недобрых традиций социалистического планового хозяйства):      

E1 = 0.1·12·2000/2 + 400·24000/ 2000 = 6000 гривен в год. 

Комментарии, как говорится, — излишни!

Конечно, так просто решать задачи выработки оптимальных стратегий удается далеко не всегда, даже если речь идет о детерминированных данных для описания жизни системы —  ее модели. Существует целый класс задач системного анализа и соответствующих им моделей систем, где речь идет о необходимости минимизировать одну  функции многих переменных следующего типа:

E = a1X1 + a2X2 + ..... anXn                                                                                {3 - 5}

где Xi  —  искомые переменные,   ai  —  соответствующие им коэффициенты или “веса переменных”  и при этом имеют место ограничения как на переменные, так и на их веса.   

Задачи такого класса достаточно хорошо исследованы в специальном разделе прикладной математики — линейном программировании.  Еще в докомпьютерные времена были разработаны алгоритмы поиска экстремумов таких функций  E = f(a,X), которые так и назвали — целевыми. Эти алгоритмы или приемы используются и сейчас — служат основой для разработки прикладных компьютерных программ системного анализа.

Системный подход к решению практических задач управления экономикой, особенно для задач со многими десятками сотен или даже тысячами переменных привел к появлению специализированных, типовых направлений как в области теории анализа, так и в практике.

Наиболее “старыми” и, следовательно, наиболее обкатанными  являются методы решения специфичных  задач, которые давно уже можно называть классическими.

Специалистам в области делового администрирования надо знать эти задачи хотя бы на уровне постановки и, главное, в плане моделирования соответствующих систем.

· Задачи управления запасами

Первые задачи управления запасами были рассмотрены еще в 1915 году — задолго не только до появления компьютеров, но и до употребления термина “кибернетика”.  Был обоснован метод решения простейшей задачи — минимизация затрат на заказ и хранение запасов при заданном спросе на данную продукцию и фиксированном уровне цен. Решение —  размер оптимальной партии  обеспечивало наименьшие суммарные затраты за заданный период времени.

Несколько позже были построены алгоритмы решения задачи управления запасами при более сложных условиях — изменении уровня цен (наличие “скидок за качество” и / или  “скидок за количество”);  необходимости учета линейных ограничений на складские мощности и т. п.

· Задачи распределения ресурсов

В этих задачах объектом  анализа являются  системы, в которых приходится выполнять несколько операций с продукцией (при наличии нескольких способов выполнения этих операций) и, кроме того, не хватает ресурсов или оборудования для выполнения всех этих операций.

Цель системного анализа — найти способ наиболее эффективного выполнения операций с учетом ограничений на ресурсы.

 Объединяет все такие задачи метод их решения — метод математического программирования, в частности, — линейного программирования. В самом общем виде задача линейного программирования формулируется так:

требуется обеспечить минимум выражения (целевой функции)

E(X) = C1X1 + C2X2 + ......+ CiXi + ... CnXn                       {3 - 6}         при следующих условиях:

все  Xi  положительны и, кроме того, на все Xi  налагаются m ограничений  (m < n)

A11·X1 + A12·X2 + ......+ Aij·Xj  + ... A1n·Xn  = B1;

.....................................................................................

Ai1·X1  + Ai2·X2  + ......+ Aij·Xj  + ... Ain·Xn  = Bi;                                {3 - 7}

.....................................................................................

Am1·X1 + Am2·X2  + .....+ Amj·Xj+ ... Amn·Xn  = Bm .

Начала теоретического обоснования и разработки практических методов решения задач линейного программирования были положены Д.Данцигом (по другой версии — Л.В.Канторовичем).

Для большинства  конкретных приложений универсальным считается т. н. симплекс-метод поиска цели, для него и смежных методов разработаны специальные пакеты прикладных программ (ППП) для компьютеров.

3.5 Наличие нескольких целей —  многокритериальность системы

Весьма часто этап содержательной постановки задачи системного анализа приводит нас к выводу о наличии нескольких целей функционирования системы. В самом деле, если некоторая экономическая система может иметь “главную цель” —  достижение максимальной прибыли,  то почти всегда можно наблюдать ситуацию наличия ограничений или условий. Нарушение этих условий либо невозможно (тогда не будет самой системы), либо заведомо приводит к недопустимым последствиям для внешней cреды. Короче говоря, ситуация, когда   цель всего одна и достичь ее требуется любой ценой, практически невероятна.

Пусть имеется самая простая ситуация многокритериальности — существуют только две цели системы T1 и T2 и только две возможных стратегии  S1, S2 .

Пусть мы как-то оценили эффективность E11 стратегии S1  по отношению к T1  и эффективность эта оказалась равной 0.4 (по некоторой шкале 0..1).  Проделав такую же оценку для всех стратегий и всех целей, мы получили табличку (матрицу эффективностей):

Таблица 3.1