x = A+Bt+Ct3, где А = 4 м, В = 2 м/c, С = 0,2 м/с3. Найти: 1) положение точки в моменты времени t = 2 c и t = 5 с; 2) среднюю скорость за время, протекшее между этими моментами; 3) мгновенные скорости в указан-ные моменты времени; 4) среднее ускорение за указанный промежуток вре-мени; 5) мгно-венные ускорения в указанные моменты времени.

Дано:

x = A + Bt + Ct3

A = 4 м

B = 2 м/c

C = 0,2 м/c3

t1 = 2 c; t2 = 5 c

Решение

1. Чтобы найти координаты точки, надо в уравнение движения подставить значения t1 и t2:

x1 = (4+22+0,223) м = 9,6 м,

x2 = (4+25+0,253) м = 39 м.

x1, x2 <>- ?

1, 2 - ?

<a> a1, a2 - ?

2. Средняя скорость,

м/с = 9,8 м/с.

3. Мгновенные скорости найдем, продифференцировав по времени уравнение движения:

1 = (2+30,222) м/с = 4,4 м/c;

2 = (2+30,252) м/с = 17 м/с.

4. Среднее ускорение ,

м/c2 = 4,2 м/с2.

5. Мгновенное ускорение получим, если продифференцируем по времени выражение для скорости: a = 23Ct = 6Ct.

a1 = 60,22 м/c2 = 2,4 м/с2;

a2 = 60,25 м/с2 = 6 м/с2.

Задача 2 Маховик вращается равноускоренно. Найти угол , ко-то-рый составляет вектор полного ускорения любой точки маховика с радиусом в тот момент, когда маховик совершит первые N=2 оборота.

Дано:

0 = 0.

N = 2

= const

Решение

Разложив вектор точки М на тангенци-аль-ное и нормальное уско-ре-ния, видим, что иско-мый угол определяется соотно-шением tg=a/an. Поскольку в условии дано лишь число оборотов, перейдем к угловым величинам. Применив формулы:

- ?

a = R, an = 2R, где R - радиус маховика, получим

tg =

так как маховик вращается равноускоренно, найдем связь между величинами и ;

;

Поскольку 0 = 0; = 2N, то 2 = 22N = 4N.

Подставим это значение в формулу, получим:

2,3.

Ответ: 2,3.

Задача 3 Две гири с массами m1 = 2 кг и m2 = 1 кг соединены нитью, пе-ре-ки-ну-той через невесомый блок. Найти ускорение a, с которым движутся гири, и силу натяжения нити . Трением в блоке пренебречь.

Дано:

m1 = 2 кг

m2 = 1 кг

Решение

Воспользуемся для решения задачи основным законом динамики

где - равнодействующая всех сил, действующих на тело.

a, FН - ?

На тело 1 и тело 2 действуют только две силы - сила тяжести и сила

натяжения нити. Для первого тела имеем:

(1)

для второго тела:

. (2)

Так как сила трения в блоке отсутствует,

Ускорения тел а1 и а2 равны по модулю и направлены в противоположные стороны

Получаем из (1) и (2) систему уравнений.

Выберем ось Х, как показано на рисунке и запишем полученную систему уравнений

в проекциях на ось Х

Решая эту систему относительно а и FН, получаем:

= 3,3 м/с2; = 13 Н.

Ответ: a = 3,3 м/c2 ; FH = 13 Н.

Задача 4 К ободу однородного диска радиусом R=0,2 м прило-жена касательная сила F=98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения

МТР=4,9 Нм. Найти массу m диска, если известно, что диск вращается с угловым ускорением =100 рад/с2.

Дано:

R = 0,2 м

F = 98,1 Н

MТР = 4,3 Нм

= 100 рад / c2

Решение

Воспользуемся основным законом динамики вращательного движения: или в скалярной форме

, где

- момент сил, приложенных к телу ( MF - момент силы F, Mтр - момент сил трения );

m - ?

- момент инерции диска.

Учитывая, что MF=FR, получаем: .

Отсюда

m = 7,7 кг.

Ответ: m = 7,7 кг.

Задача 5

Вагон массой 20 т, движущийся равнозамедленно, под действием силы трения в 6 кН через некоторое время останавливается. Начальная скорость вагона равна 54 км/ч. Найти работу сил трения и расстояние, которое вагон пройдет до остановки.

Дано:

m = 20 10 3 кг

Fтр = 6 10 3 Н

= 15 м/c

Решение

По закону сохранения механической энергии изменение полной механической энергии будет определятся работой неконсервативных сил, то есть

AТР - ? r - ?

Так как механическая энергия вагона равна его кинети-ческой энергии, в качестве неконсервативной силы выступает сила

трения, в конце пути скорость вагона равна нулю, то

Итак:

По определению для работы, совершаемой постоянной силой трения:

м.

Ответ: r = 375 м.

Задача 6 При упругом ударе нейтрона о ядро атома углерода он движется после удара в направлении, перпендикулярном начальному. Считая, что масса М ядра углерода в n=12 раз больше массы m нейтрона, определить, во сколько раз уменьшается энергия нейтрона в результате удара.

Дано:

Решение

Ведем обозначения: 1 - скорость нейтрона до удара, 1' - после удара; 2 - скорость ядра углерода после удара (до удара она равна нулю). По законам сохранения импульса и энергии соответственно имеем:

- ?

По условию задачи требуется найти отношение

Из треугольника импульсов (смотри рисунок) имеем:

(m1)2+(m1)2=(M2)2.

С учетом записанных выражений, а также соотношения n=M/m, получим:

12-12=n22;

12+12=n222.

Разделив почленно последние равенства, получаем:

Отсюда =1,18.

Ответ: = 1,18.

Задача 7 Круглая платформа радиусом R=1,0 м, момент инерции которой I=130 кгм2, вращается по инерции вокруг вертикальной оси, делая n1=1,0 об/с. На краю платформы стоит человек, масса которого m=70 кг. Сколько оборотов в секунду n2 будет совершать платформа, если человек перейдет в её центр? Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

Дано:

R = 1м

I = 130 кг м2

n1 = 1c-1

m = 70 кг

Решение

Согласно условию задачи, платформа с человеком вращается по инерции. Это означает, что результирующий момент всех внешних сил, приложенных к вращающейся системе, равен нулю. Следовательно, для системы “платформа - человек” выполняется закон сохранения момента импульса, который запишем в скалярной форме:

L1 = L2 , (1)

n2 - ?

где L1 - импульс системы с человеком, стоящим на краю платформы, L2 - импульс системы с человеком, стоящим в центре платформы.

L1 = I11 = (I+mR2)2n1, (2)

L2 = I22 = I2n2, (3)

где mR2 - момент инерции человека, I1 = I+mR2 - начальный момент инерции

системы, I2 - конечный момент инерции системы, 1 и 2 - начальная и конечная угловые скорости системы. Решая систему уравнений (1) - (3), получаем:

n2 = n1(I+mR2)/I = 1,5 об/с.

Ответ: n2 = 1,5 с-1.

Задача 8

Определить кинетическую энергию (в электронвольтах) и релятивистский импульс электрона, движущегося со скоростью = 0,9 c (-скорость света в вакууме).

Дано:

= 0,9 c

Решение

Т.к. скорость частицы сопоставима по значению со скоростью света в вакууме, то частицу нельзя считать классической. Для нахождения кинетической энергии воспользуемся формулой:

ЕК, р - ?

- масса покоя электрона .

Так как ,то

Можно было найти значение кинетической энергии сразу в электрон вольтах, учитывая, что энергия покоя электрона

Релятивистский импульс находим по формуле

Ответ: EK 0,66 МэВ; р 5,6 10-22 кгм/c.

Задачи для самостоятельного решения

1. Поезд движется прямолинейно со скоростью 0 = 180 км/ч. Внезапно на пути возникает препятствие, и машинист включает тор-мозной механизм. С этого момента скорость поезда изменя-ется по закону = 0-at2, где а=1м/с3. Каков тормозной путь поезда? Через какое время после начала торможения он остановится?

Ответ: х235 м, t7 с

2. Колесо радиусом R=0,1 м вращается так, что зависимость угла пово-ро-та радиуса колеса от времени дается уравнением =A+Bt+Ct3, где А, В, С - пос-тоянные; В=2 рад/с и С=1 рад/с3. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через 2 с после начала движения следующие величины: 1) угловую ско-рость; 2) линейную скорость; 3) угловое ускорение; 4) тангенциальное уско-рение; 5) нормальное ускорение.

Ответ: =14 рад/с; =1,4 м/с; =12 рад/с2; a=1,2 м/с2; an=19,6 м/с2.

3. По наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом, скользит тело. Коэффициент трения тела с плоскостью . Определить ускорение, с которым движется тело.

Ответ: a = g(sin - cos)

4.Тонкий однородный стержень длиной L=50 см и массой m=400 г вращается с угловым ускорением вокруг оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Определить момент силы, под действием которой вращается стержень.

Ответ: M=0,025 Нм

5. Камень брошен под углом 600 к поверхности земли. Кинетическая энергия камня в начальный момент равна 20 Дж. Определить кинетическую и потенциальную энергии камня в наивысшей точке его траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: 5 Дж; 15 Дж.

6. Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Масса первого шара 0,2 кг, масса второго 100 г. Первый шар отклоняют так, что его центр тяжести поднимается на высоту 4,5 см, и отпускают. На какую высоту поднимутся шары после соударения, если удар неупругий?

Ответ: H 2см

7. Тонкий однородный стержень длиной L может вращаться во-круг горизонтальной оси, проходящей через конец стержня перпен-ди-ку-лярно ему. Стержень отклонили на 90 от положения равновесия и от-пус-тили. Определить скорость нижнего конца стержня в момент про-хож-дения положения равновесия.

Ответ:

8. Кинетическая энергия электрона равна 1МэВ. Определить скорость электрона .

Ответ:

Контрольное задание №1

101. Пассажир электропоезда, движущегося со скоростью 15 м/с, заметил, что встречный поезд длиной 210 м прошел мимо него за 6,0 с. Определить скорость встречного поезда.

102. При неподвижном эскалаторе метрополитена пассажир под-ни-мается за t1=120 с, а по движущемуся при той же скорости отно-си-тель-но ступенек - за t2=30 с. Определить время подъема пасса-жира, непод-виж-но стоя-щего на движущемся эскалаторе.

103. Определить скорость моторной лодки относительно воды, если при дви-же-нии по течению реки её скорость 10 м/с, а при движении против течения - 6,0 м/с. Чему равна скорость течения воды в реке?

104. Скорость поезда, при торможении двигающегося равно-замедленно, уменьшается в течение 1 мин от 40 км/ч до 28 км/ч. Найти ускорение поезда и расстояние, пройденное им за время торможения.

105. Движение материальной точки задано уравнением x=at+bt2+ct3, где

a=5 м/с, b=0,2 м/с2, с=0,1 м/с3. Определить скорость точки в момент времени t1=2 с, t2=4 с, а также среднюю скорость в интервале времени от t1 до t2.

106. Скорость материальной точки, движущейся вдоль оси X, опре-деляется уравнением X = 0,2-0,1t. Найти координату точки в момент времени t=10 с, если в начальный момент времени она находилась в точке x0=1 м.

107. Самолет для взлета должен иметь скорость 100 м/с. Определить время разбега и ускорение, если длина разбега 600 м; движение самолета при этом считать равноускоренным.

108. Автомобиль движется со скоростью 1=25 м/с. На пути S=40 м про-изводится торможение, после чего скорость уменьшается до 2=15 м/с. Считая движение автомобиля равнозамедленным, найти модуль ускорения и время торможения.

109. Первую половину пути тело двигалось со скоростью 1 = 2 м / с, вторую половину пути - со скоростью 2 = 8 м / с. Определить среднюю скорость движения.

110.Точка прошла половину пути со скоростью 10 км/ч. Оставшуюся часть пути она половину времени двигалась со скоростью 18 км/ч, а последний участок - со скоростью 25,2 км/ч. Найти среднюю скорость движения точки.

111. Определить угловое ускорение маховика, частота вращения кото-рого за время N=20 полных оборотов возросла равномерно от n0=1 об/c до n=5 об/с.

112. Определить зависимость угловой скорости и углового ускорения от времени для твердого тела, вра-щающегося вокруг неподвижной оси z по закону =at-bt2, где a=20 рад/с, b=1 рад/с2. Каков характер движения этого тела? Построить графики зависимости угловой скорости и углового ускорения от времени.

113. Колесо радиусом R=10 см вращается с постоянным угловым ус-ко-ре-ни-ем =3,14 рад/с2. Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды пос-ле начала движения: 1) угловую скорость; 2) линейную скорость; 3) тан-ген-циальное ускорение; 4) нормальное ускорение; 5) полное ускорение.

114. Твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону
= 6,0 t -2,0 t3. Найти средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от t = 0 до остановки.

115. Вентилятор вращается с частотой 600 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 оборотов. Какое время прошло с момента выключения вентилятора до его полной остановки?

116. Колесо вращается с угловым ускорением 2 рад/с2. Через время 0,5 с после начала движения полное ускорение точек на ободе колеса равно 0,15 м/с2. Найти радиус колеса.

117. Велосипедное колесо вращается с частотой n=5 c-1 . Под действием сил трения оно остановилось через t=1 мин. Определить угловое ускорение и число оборотов, которое сделало колесо за это время.

118. Ось с двумя параллельными бумажными дисками, расположенными на расстоянии 0,5 м друг от друга, вращается с частотой 1200 об/мин. Пуля, летящая вдоль оси, пробивает оба диска; пробоины в дисках смещены друг относительно друга на угол 15о. Найти скорость пули. Силой тяжести, действующей на пулю пренебречь.

119. Движение точки по окружности радиусом 4 м задано уравнением
S = 10 - 2 t + t2. Найти тангенциальное, нормальное и полное ускорения точки в момент времени 2 с.

120. Точка движется по окружности радиусом 2 м согласно уравнению S = 2 t3. В какой момент времени нормальное ускорение точки будет равно тангенциальному? Чему будет равно полное ускорение точки в этот момент времени?

121. Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с гори-зон-том угол =45. Зависимость пройденного телом пути S от времени t задана уравнением S=Ct2, где С=1,73 м/с2. Найти коэффициент трения k тела о плоскость.

122. Тело массой m=0,5 кг движется так, что зависимость координаты тела от времени t дается уравнением X=Asin(t), где А=5 см и = рад/с. Найти силу F, действующую на тело через время t=(1/6) с после начала движения.

123. Невесомый блок укреплен в вер-ши-не двух наклонных плос-кос-тей, составляющих с горизонтом углы =30 и =45. Гири 1 и 2 оди-на-ко-вой массы m1=m2=1 кг соединены нитью и перекинуты через блок. Най-ти уско-ре-ние а, с которым движутся гири, и силу натяжения нити Т. Трением гирь 1 и 2 о наклонные плоскости, а также трением в блоке пренебречь.

124. Самолёт делает «мёртвую петлю » радиусом 500 м с постоянной скоростью 360 км/ч. Найти вес летчика массой 70 кг в нижней, верхней и средней точках петли.

125. К пружинным весам подвешен блок. Через блок перекинули шнур, к концам которого привязали грузы массой 1,5 кг и 3 кг. Каково будет показание весов во время движения грузов? Массой блока и шнура пренебречь.

126. Наклонная плоскость, образующая угол 25о с плоскостью горизонта, имеет длину 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время 2 с. Определить коэффициент трения тела о плоскость.

127. На автомобиль массой 1т во время движения действует сила трения, равная 0,1 действующей на него силы тяжести. Найти силу тяги, развиваемую мотором автомобиля, если автомобиль движется с постоянной скоростью:

а ) в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути; б ) под гору с тем же уклоном.

128. На столе стоит тележка массой m1=4 кг. К тележке привязан один конец шнура, перекинутого через блок. С каким ускорением будет двигаться тележка, если к другому концу шнура привязать гирю массой m2=1 кг?

129. Аэростат массой m начал опускаться с постоянным ускорением а. Опре-делить массу балласта, который следует сбросить за борт, чтобы аэростат получил такое же ускорение, но направленное вверх. Сопротивлением воздуха пренебречь.

130. Небольшое тело пустили снизу вверх по наклонной плоскости, составляющей угол 15о с горизонтом. Найти коэффициент трения, если время подъёма тела оказалось в 2 раза меньше времени спуска.

131. Две гири с разными массами соединены нитью, перекинутой через блок, момент инерции которого J=50 кгм2 и радиус R=20 см. Момент сил трения вращающегося блока MТР=98,1 Нм. Найти разность сил натяжения нити Т1-Т2 по обе стороны блока, если известно, что блок вращается с угловым ускорением

=2,36 рад/с. Блок считать однородным диском.

132. На барабан массой m0=9 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m=2 кг. Найти ускорение a груза. Барабан считать однородным цилиндром. Трением пренебречь.

133. Маховик радиусом R=0,2 м и массой m=10 кг соединен с мотором при помощи приводного ремня. Сила натяжения ремня, идущего без скольжения,

Т=14,7 Н. Какую частоту вращения будет иметь маховик через время t=10 с после начала движения? Маховик считать однородным диском. Трением пренебречь.

134. Однородный диск радиусом 0,2 м и массой 5 кг вращается вокруг оси, про-ходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости. Зависимость угловой ско-рости вращения диска от времени даётся уравнением = А + 8 t, где А=const. Найти каса-тель-ную силу, приложенную в ободу диска. Трением пренебречь.

135. Маховое колесо, момент инерции которого 245 кгм2, вращается с частотой 20 об / с. Через 1 минуту после того, как на колесо перестал действовать момент сил, оно остановилось. Найти момент сил трения и число оборотов, которое сделало колесо до полной остановки после прекращения действия сил. Колесо считать однородным диском.

136. Однородный стержень длиною 1м и весом 0,5 Н вращается в вер-ти-кальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением вращается стержень, если вращающий момент равен 9,8 10-2 Нм?

137. Автомобиль идет по закруглению шоссе, радиус кривизны которого равен 200 м. Коэффициент трения колес о покрытие дороги равен 0,1. При какой скорости автомобиля начнется его занос?

138. Однородный диск радиусом R=0,2м и массой 0,5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Зависимость угловой скорости вращения диска от времени дается уравнением =A+Bt, где . Найти величину каса-тель-ной силы, приложенной к ободу диска. Трением пренебречь.

139. Найти момент импульса земного шара относительно оси вращения.

140. Грузик, привязанный к шнуру длиной L=50см, описывает окружность в горизонтальной плоскости. Какой угол (в градусах) образует шнур с вертикалью, если частота вращения n=1c-1 ?

141. Под действием постоянной силы вагонетка прошла путь 5 м и приобрела скорость 2 м / с. Определить работу силы, если масса вагонетки 400 кг и коэффициент трения равен 0,01.

142. Вычислить работу, совершаемую при равноускоренном подъёме груза массой 100 кг на высоту 4 м за время 2 с.

143. На тело, двигавшееся со скоростью 2 м/с, подействовала сила 2 Н в направлении скорости. Через 10 с после начала действия силы кинетическая энергия тела оказалась равной 100 Дж. Найти массу тела, считая его материальной точкой.

144. Найти работу, которую надо совершить, чтобы увеличить скорость движения тела от 2 м/с до 6 м/с на пути в 10 м. На всём пути действует постоянная сила трения, равная 2 Н. Масса тела равна 1 кг.

145. Найти, какую мощность развивает двигатель автомобиля массой в

1000 кг, если известно, что автомобиль едет с постоянной скоростью 36 км / ч:

1) по горизонтальной дороге, 2 ) в гору с уклоном 5 м на каждые 100 м пути, 3) под гору с тем же уклоном. Коэффициент трения 0,07.

146. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением
= 2+16t-2t2. Момент инерции маховика равен 50 кгм2. Найти закон, по которому меняется вращающий момент сил и мощность. Чему равна мощность в момент времени 3 с?

147. Якорь мотора вращается с частотой 1500 об/мин. Определить вра-ща-ю-щий момент сил, если мотор развивает мощность 500 Вт.

148. Ремённая передача передаёт мощность 9 кВт. Шкив передачи имеет диа-метр 0,48 м и вращается с частотой 240 об/мин. Натяжение ведущей ветви ремня в два раза больше натяжения ведомой ветви. Найти натяжение обеих ветвей ремня.

149. Диск массой 1 кг и диаметром 0,6 м вращается вокруг оси, проходящей че-рез центр перпендикулярно его плоскости, делая 20 об/с. Какую работу надо со-вер-шить, чтобы остановить диск ?

150. Камень, пущенный по поверхности льда со скоростью =2м/с, прошел до полной остановки расстояние S=20,4 м. Найти коэффициент трения камня по льду, считая его постоянным.

151. Человек, весом 60 кг, бегущий со скоростью 8 км/ч, догоняет тележку ве-сом 80 кг, движущуюся со скоростью 2,9 км/ч, и вскакивает на нее. С какой скоростью станет двигаться тележка? С какой скоростью будет двигаться тележка, если человек бежал ей навстречу?

152. Пуля, летящая горизонтально со скоростью = 400 м/c, попадает в брусок, подвешенный на нити длиной L = 4м, и застревает в нем. Определить угол , на который отклонится брусок, если масса пули m1 = 20 г, а бруска m2 = 5кг.

153. Шар массой 1 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стенку, отка-ты-ва-ет-ся от неё. Скорость шара до удара 10 см/с, после удара 8 см/с. Найти количество теп-ла, выделившееся при ударе.

154. Конькобежец массой 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизон-таль-ном направлении камень массой 3 кг со скоростью 8 м/с. Найти, на какое расстояние отка-тится при этом конькобежец, если известно, что коэффициент трения коньков о лед равен 0,02.

155. Тело массой 2 кг движется навстречу второму телу массой 1,5 кг и не-уп-руго сталкивается с ним. Скорости тел перед столкновением 1 м/с и 2 м/с соот-вет-ственно. Сколько времени будут двигаться эти тела после столкновения, если коэффициент трения равен 0,1.

156. Шарик массой 200 г ударился о стенку со скоростью 10 м/с и отскочил от неё с такой же по модулю скоростью. Определить импульс, полученный стенкой, если до удара шарик двигался под углом 30 к плоскости стенки.

157. Два шарика массами 2 и 4 кг двигаются со скоростями 5 м/с и 7 м/с соот-вет-ственно. Определить скорость шаров после прямого неупругого удара, если большой шар догоняет меньший.

158. Абсолютно упругий шар массой 1,8 кг сталкивается с покоящимся упругим шаром большей массы. В результате центрального прямого удара шар потерял 36 % своей кинетической энергии. Определить массу большего шара.

159. Стержень длиной L = 1,5 м и массой M = 10 кг может вращаться вокруг не-подвижной оси, проходящий через верхний конец стержня. В середину стержня уда-ряет пуля массой m = 10 г, летящая в горизонтальном направлении со скоростью 0 = 500 м/c, и застревает в стержне. На какой угол отклонится стержень после удара?

160. На покоящийся шар массой М = 1 кг, подвешенный на длинном жестком стержне, попадает пуля m = 10 г. Угол между направлением полета пули и линией стер-жня = 45 . Удар центральный. После удара пуля застревает в шаре и шар вместе с пулей, отклонившись, поднимается на высоту h= 0,12 м относительно первоначального положения. Найти скорость пули. Массой стержня пренебречь.

161. Найти работу подъема груза по наклонной плоскости, если масса груза 100 кг, длина наклонной плоскости 2 м, угол наклона 300, коэффициент трения 0,1 и груз движется с ускорением 1м/с2.

162. К ободу диска массой m=5 кг приложена постоянная касательная сила F=2 Н. Какую кинетическую энергию будет иметь диск через t=5 с после начала действия силы?

163. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом 2 м, стоит человек. Масса платформы 200 кг, масса человека 80 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через её центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль её края со скоростью 2 м/с относительно платформы.

164. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться вокруг верти-каль-ной оси. На краю платформы стоит человек. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы с постоянной скоростью и, обойдя её, вернется в исходную точку? Масса платформы 240 кг, масса человека 60 кг. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

165. Какую работу совершит человек, если он от края вращающейся платформы перейдет в её центр? Масса платформы 100 кг, масса человека 80 кг, первоначальная частота вращения 10 об/мин, радиус платформы 2 м.

166. Диск радиусом 20 см и массой 5 кг вращался, делая 8 об/с. При торможении он остановился через 4 секунды. Определить тормозящий момент.

167. Маховик вращается с частотой n=10 об/с. Его кинетическая энергия WК=7,85 кДж. За какое время t момент сил М=50 Нм, приложенный к маховику, увеличит угловую скорость маховика вдвое?

168. Вентилятор вращается с частотой n = 900 об/мин. После выключения вен-ти-лятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N = 75 об. Работа сил тор-мо-жения А = 44,4 Дж. Найти момент инерции J вентилятора и момент сил тор-можения М.

169. Маховое колесо начинает вращаться с угловым ускорением =0,5 рад/с2 и через время t1=15 с после начала движения приобретает момент импульса

L=73,5 (кгм2)/с. Найти кинетическую энергию WК колеса через время t2=20 с после начала движения.

170. Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростью 7,2 км/ч. На какое расстояние может вкатиться обруч на горку за счет его кинетической энергии? Уклон горки равен 10 м на каждые 100 м пути.

171. Найти скорость релятивистской частицы массы m=0,9110-30 кг (масса электрона), импульс которой р=1,5810-22 кгм/с.

172. Какую работу необходимо совершить, чтобы увеличить скорость частицы с массой покоя m0 от 0,6 с до 0,8 с?

173. Солнце ежеминутно испускает энергию, равную 6,51021 кВтч. Считая излучение солнца постоянным, найти, за какое время масса Солнца уменьшится в
2 раза.

174. Частица движется со скоростью =0,5с. Во сколько раз масса частицы больше массы покоя?

175. Кинетическая энергия протона 10 МэВ. Определить его импульс.

176. При какой скорости движения релятивистское сокращение длины движущегося тела составляет 25 %.

177. Мезон движется со скоростью 0,96 с. Какой промежуток времени по часам наблюдателя соответствует одной секунде “собственного” времени мезона?

178. C какой скоростью движется частица, если ее масса в 4 раза больше массы покоя?

179. Определить скорость тела, при которой его плотность возрастает в 2 раза.

180. Найти относительную скорость движения двух частиц, движущихся навстречу друг другу со скоростями 1 = 0,6c и 2 = 0,9c.

II. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ

Молекулярная физика и термодинамика - разделы физики, в которых изучаются макроскопические процессы в телах, связанные с огромным числом содержащихся в них атомов и молекул (макроскопические системы). Для исследования этих процессов применяются два качественно различных метода: статистический и термодинамический. Первый лежит в основе молекулярной физики, второй - термодинамики.

Молекулярная физика изучает макроскопические процессы исходя из представлений об атомно-молекулярной природе вещества, и рассматривает теплоту как беспорядочное (тепловое) движение атомов и молекул. Тепловое движение определяет внутреннее состояние любого макроскопического тела (системы).

Термодинамика является аксиоматической наукой, она не вводит каких-либо конкретных представлений о строении вещества и физической природе теплоты. Ее выводы основаны на общих принципах или началах, которые являются обобщением опытных фактов. Теплота рассматривается как какое-то внутреннее движение без его конкретизации.

Важным свойством теплового движения является его способность «заставлять» макроскопическую систему «забывать» свое начальное состояние, если исключены меры, поддерживающие начальное состояние. Если систему поместить в неизменные внешние условия, то независимо от начального состояния системы она перейдет в стационарное состояние (не меняющееся со временем). При отсутствии движения через границы системы вещества, энергии, импульса, электрического заряда, такое состояние называется состоянием теплового или термодинамического равновесия (равновесное состояние).

Свойства равновесного состояния не зависят от деталей движения отдельных частиц, а определяются поведением всей их совокупности. Это поведение характеризуется небольшим числом величин, называемых термодинамическими параметрами. Равновесное состояние системы характеризуется постоянством во времени ее параметров. Термодинамические параметры определяют некую усредненную картину движения частиц системы, поэтому они имеют смысл средних значений физических величин, описывающих поведение отдельных частиц системы. Это проявляется в существовании статистических флуктуаций значений термодинамических параметров, которые в равновесном состоянии очень малы.

Процесс самопроизвольного перехода системы в равновесное состояние называется релаксацией, а время этого процесса - временем релаксации. До истечения времени релаксации состояние системы остается неравновесным, а сам процесс релаксации является неравновесным.

При изменении внешних условий или воздействии на систему, параметры состояния будут изменяться, и система перейдет в новое состояние. Этот процесс перехода называется термодинамическим процессом, он может быть равновесным или неравновесным. Процесс называется равновесным, если в ходе его система проходит последовательность равновесных состояний. Равновесными процессами являются бесконечно медленно протекающие процессы (хорошим приближением являются процессы, время протекания которых много больше времени температурной релаксации). Равновесное состояние и равновесный процесс изображаются на диаграмме состояний соответственно точкой и линией.

Рассмотрим основные термодинамические параметры: V - объем системы или тела; Р - давление (абсолютное значение средней силы, действующей со стороны вещества жидкости или газа на каждую из поверхностей помещенной в них единичной площадки); Т - абсолютная температура, характеризует интенсивность теплового движения частиц системы. В случае классического характера движения частиц системы средняя кинетическая энергия поступательного движения одной частицы пропорциональна температуре

где m - масса одной частицы, v - ее скорость, vкв- средняя квадратичная скорость движения молекул, k = 1.3810-23Дж/К - постоянная Больцмана.

1. Молекуляро - кинетическая теория идеальных газов

1.1. Уравнение состояния

В состоянии термодинамического равновесия объем V, давление Р и температура Т находятся в функциональной зависимости, которую можно выразить уравнением

F (P,V,T) = 0.

Это соотношение называется уравнением состояния тела (системы). Вид функции F(P,V,T) различен для разных тел и точно установлен только в одном случае, а именно, для идеального газа. Идеальным называется газ, в котором

где - среднее время столкновения частиц, - среднее время свободного пробега частиц. При этом средняя длина свободного пробега частиц должна быть много меньше размеров сосуда, в котором заключен газ. Данные условия выполняются достаточно хорошо для газов, молекулы которых имеют простое строение, даже при давлениях близких к атмосферному.

Уравнение состояния идеального газа можно получить, рассмотрев давление, создаваемое газом на стенку сосуда. Оно возникает в результате передачи импульса участку стенки при столкновениях с ним молекул газа. Учитывая, что в равновесном состоянии соударения молекул в среднем носят упругий характер, давление идеального газа оказывается пропорциональным средней энергии поступательного движения частиц, заключенных в единице объема

где n - плотность (концентрация) частиц, n = N/V, N - число частиц.

Используя связь кинетической энергии молекул и температуры, получаем

P = nkT.

Существует несколько форм записи этого уравнения

PV = NkT

PV = NAkT = RT.

В ней =- число молей газа, R = NAk = 8.31 Дж/мольК - универсальная газовая постоянная. Используя выражение для количества вещества через массу и молярную массу газа можно получить известное уравнение Клапейрона - Менделеева

PV =RT.

Из последнего уравнения состояния можно получить известный закон Дальтона и уравнения изопроцессов:

а) давление механической смеси газов равно сумме парциальных давлений газов, входящих в смесь

PV = ()RT

б) изотермический - Т=const, PV = const, P1V1 = P2V2;

изобарический - P = const, ;

изохорический - V = const, .

1.3 Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса

При увеличении плотности (давления) поведение газа все сильнее отличается от поведения идеального газа. Это объясняется тем, что при малых средних расстояниях между молекулами, все большее значение приобретают силы межмолекулярного взаимодействия. На малых расстояниях эти силы являются силами отталкивания, а на больших - силами притяжения. Влияние этих сил на вид уравнения состояния можно приближенно учесть следующим образом. Для реальных газов давление должно резко возрастать при конечном объеме, равном по порядку величины объему всех частиц газа. Обозначим этот конечный объем для одного моля через - b, тогда давление газа может быть записано в виде

Страницы: 1, 2, 3, 4