Ивасенко А.Г. и др. Финансовый менеджмент

потокам, следует усвоить наиболее элементарные операции с единичными

суммами (разовыми платежами).

Процентная ставка показывает степень интенсивности изменения стоимости

денег во времени. Абсолютная величина этого изменения называется процентом

и измеряется в денежных единицах (например, рублях), обозначаемых I. Если

обозначить будущую сумму S, а современную (или первоначальную) P, то

I = S – P. Процентная ставка i – относительная величина, измеряемая в

десятичных дробях или %, она определяется делением процентов на

первоначальную сумму:

[pic]. (2.1.1)

Можно заметить, что формула расчета процентной ставки идентична расчету

статистического показателя «темп прироста». Действительно, если абсолютная

сумма процента (I) представляет собой прирост современной величины, то

отношение этого прироста к самой современной величине и будет темпом

прироста перовначальной суммы. Наращение первоначальной суммы по процентной

ставке называется декурсивным методом начисления процентов.

Кроме процентной существует учетная ставка d (другое название – ставка

дисконта), величина которой определяется по формуле

[pic], (2.1.2)

где D – сумма дисконта.

Сравнивая формулы (2.1.2) и (2.1.3), можно заметить, что сумма процентов

I и величина дисконта D определяются одинаковым образом – как разница между

будущей и современной стоимостями. Однако смысл, вкладываемый в эти

термины, неодинаков. Если в первом случае речь идет о приросте текущей

стоимости, своего рода «наценке», то во втором определяется снижение

будущей стоимости, «скидка» с ее величины. (Diskont в переводе с немецкого

означает «скидка».) Неудивительно, что основной областью применения учетной

ставки является дисконтирование, процесс, обратный по отношению к

начислению процентов. Тем не менее иногда учетная ставка используется и для

наращения. В этом случае говорят об антисипативных процентах.

При помощи рассмотренных выше ставок могут начисляться как простые, так и

сложные проценты. При начислении простых процентов наращение первоначальной

суммы происходит в арифметической прогрессии, а при начислении сложных

процентов – в геометрической. Вначале более подробно рассмотрим операции с

простыми процентами.

Начисление простых декурсивных и антисипативных процентов производится по

различным формулам:

декурсивные проценты

[pic]; (2.1.3)

антисипативные проценты

[pic], (2.1.4)

где n – продолжительность ссуды, измеренная в годах.

Для упрощения вычислений вторые сомножители в формулах (2.1.3) и (2.1.4)

называются множителями наращения простых процентов: (1 + ni) – множитель

наращения декурсивных процентов; 1/(1 – nd) – множитель наращения

антисипативных процентов.

Например, ссуда в размере 1 млн. руб. выдается сроком на 0,5 года под 30

% годовых. В случае декурсивных процентов наращенная сумма (Si) будет равна

1,15 млн. руб. (1(1 + 0,5 ( 0,3), а сумма начисленных процентов (I) – 0,15

млн. руб. (1,15 – 1). Если же начислять проценты по антисипативному методу,

то наращенная величина (Sd) составит 1,176 млн. руб. (1(1/(1 – 0,5 ( 0,3),

а сумма процентов (D) – 0,176 млн. руб. Наращение по антисипативному методу

всегда происходит более быстрыми темпами, чем при использовании процентной

ставки. Поэтому банки используют этот метод для начисления процентов по

выдаваемым ими ссудам в периоды высокой инфляции. Однако нужно отметить

существенный недостаток антисипативного метода: как видно из формулы

(2.1.4), при n = 1/d, знаменатель дроби обращается в нуль и выражение

теряет смысл.

Вообще, начисление процентов с использованием ставки, предназначенной для

выполнения прямо противоположной операции – дисконтирования, – носит

оттенок некой «неестественности» и иногда порождает неразбериху

(аналогичную той, которая может возникнуть у розничного торговца, если он

перепутает правила определения скидок и наценок на свои товары). С позиции

математики никакой сложности здесь нет, преобразовав (2.1.1), (2) и (4),

получаем

[pic] (2.1.5)

Соблюдая это условие, можно получать эквивалентные результаты, начисляя

проценты как по формуле (2.1.3), так и по формуле (2.1.4).

Антисипативным методом начисления процентов обычно пользуются в чисто

технических целях, в частности для определения суммы, дисконтирование

которой по заданным учетной ставке и сроку даст искомый результат. В

следующем параграфе будут рассмотрены подобные ситуации.

Как правило, процентные ставки устанавливаются в годовом исчислении,

поэтому они называются годовыми. Особенность простых процентов в том, что

частота процессов наращения в течение года не влияет на результат, т. е.

нет никакой разницы – начислять 30 % годовых один раз в год или по 15 %

годовых – два раза. Простая ставка 30 % годовых при одном начислении в году

называется эквивалентной простой ставке 15 % годовых при начислении один

раз в полгода. Данное свойство объясняется тем, что процесс наращения по

простой процентной ставке представляет собой арифметическую прогрессию с

первым членом

a1 = P и разностью d = (P ( i).

P, P + (P ( i), P + 2(P ( i), P + 3(P ( i), …, P + (k – 1)(P ( i)

Наращенная сумма S есть не что иное, как последний k-й член этой

прогрессии (S = ak = P + nPi), срок ссуды n равен k – 1. Поэтому, если

увеличить n и одновременно пропорционально уменьшить i, то величина каждого

члена прогрессии, в том числе и последнего, останется неизменной.

Однако продолжительность ссуды n (или другой финансовой операции,

связанной с начислением процентов) необязательно должна равняться году или

целому числу лет. Напротив, простые проценты чаще всего используются при

краткосрочных (длительностью менее года) операциях. В этом случае возникает

проблема определения длительности ссуды и продолжительности года в днях.

Если обозначить продолжительность года в днях буквой K (этот показатель

называется временной базой), а количество дней пользования ссудой – t, то

использованное в формулах (2.1.3) и (2.1.4) обозначение количества полных

лет n можно будет выразить как t/K. Подставив это выражение в (2.1.3) и

(2.1.4), получим:

для декурсивных процентов

[pic]; (2.1.6)

для антисипативных процентов

[pic]. (2.1.7)

В различных случаях могут применяться свои способы подсчета числа дней в

году (соглашение по подсчету дней). Год может приниматься равным 365 или

360 дням (12 полных месяцев по 30 дней в каждом). Сложность представляют

подсчеты в високосный год. Например, обозначение ACT/360 (actual over 360)

указывает на то, что длительность года принимается равной

360 дням. Однако возникает вопрос, а как при этом определяется

продолжительность ссуды? Например, если кредит выдается 10 марта со сроком

возврата 17 июня этого же года, как считать его длительность – по календарю

или исходя из предположения, что любой месяц равен 30 дням? Безусловно, в

каждом конкретном случае может быть выбран свой оригинальный способ

подсчета числа дней, однако на практике выработаны некоторые общие

принципы, знание которых может помочь сориентироваться в любой конкретной

ситуации.

Если временная база (K) принимается равной 365 (366) дням, то проценты

называются точными. Если временная база равна 360 дням, то говорят о

коммерческих, или обыкновенных, процентах. В свою очередь подсчет

длительности ссуды может быть или приближенным, когда исходят из

продолжительности года в 360 дней, или точным – по календарю или по

специальной таблице номеров дней в году. Определяя приближенную

продолжительность ссуды, сначала подсчитывают число полных месяцев и

умножают его на 30. Затем добавляют число дней в неполных месяцах. Общим

для всех способов подсчета является правило: день выдачи и день возврата

кредита считаются за 1 день (назовем его граничный день). В приведенном

выше условном примере точная длительность ссуды составит по календарю 99

дней (21 день в марте + 30 дней в апреле + 31 день в мае + 16 дней в июне +

1 граничный день). Тот же результат будет получен, если использовать

таблицу номеров дней в году (10 марта имеет порядковый номер 69, а 17 июня

– 168). Если же использовать приближенный способ подсчета, то длительность

ссуды составит 98 дней (21 + 2 ( 30 + 16 + 1).

Наиболее часто встречаются следующие комбинации временной базы и

длительности ссуды (цифры в скобках обозначают соответственно величину t и

K):

1) точные проценты с точным числом дней (365/365);

2) обыкновенные (коммерческие) проценты с точной длительностью ссуды

(365/360);

3) обыкновенные (коммерческие) проценты с приближенной длительностью

ссуды (360/360).

Различия в способах подсчета дней могут показаться несущественными,

однако при больших суммах операций и высоких процентных ставках они

достигают весьма приличных размеров. Предположим, что ссуда в размере 10

млн. руб. выдана 1 мая с возвратом 31 декабря этого года под 45 % годовых

(простая процентная ставка). Определим наращенную сумму этого кредита по

каждому из трех способов. Табличное значение точной длительности ссуды

равно 244 дням (365 – 121); приближенная длительность – 241 дню (6 ( 30 +

30 + 30 + 1).

1) 10 ( (1 + 0,45 ( 244/365) = 13,008 млн. руб.;

2) 10 ( (1 + 0,45 ( 244/360) = 13,05 млн. руб.;

3) 10 ( (1 + 0,45 ( 241/360) = 13,013 млн. руб.

Разница между наибольшей и наименьшей величинами

(13,05 – 13,008) означает, что должник будет вынужден заплатить

дополнительно 42 тыс. рублей только за то, что согласился (или не обратил

внимания) на применение второго способа начисления процентов.

Обратной задачей по отношению к начислению процентов является расчет

современной стоимости будущих денежных поступлений (платежей), или

дисконтирование. В ходе дисконтирования по известной будущей стоимости S и

заданным значениям процентной (учетной) ставки и длительности операции

находится первоначальная (современная, приведенная или текущая) стоимость

P. В зависимости от того, какая именно ставка – простая процентная или

простая учетная – применяется для дисконтирования, различают два его вида:

математическое дисконтирование и банковский учет.

Метод банковского учета получил свое название от одноименной финансовой

операции, в ходе которой коммерческий банк выкупает у владельца (учитывает)

простой или переводный вексель по цене ниже номинала до истечения

означенного на этом документе срока его погашения. Разница между номиналом

и выкупной ценой образует прибыль банка от этой операции и называется

дисконт (D). Для определения размера выкупной цены (а следовательно, и

суммы дисконта) применяется дисконтирование по методу банковского учета.

При этом используется простая учетная ставка d. Выкупная цена (современная

стоимость) векселя определяется по формуле

[pic], (2.1.8)

где t – срок, остающийся до погашения векселя, в днях. Второй сомножитель

этого выражения (1 – (t/k ) ( d) называется дисконтным множителем

банковского учета по простым процентам. Как правило, при банковском учете

применяются обыкновенные проценты с точной длительностью ссуды (второй

вариант). Например, владелец векселя номиналом 25 тыс. руб. обратился в

банк с предложением учесть его за 60 дней до наступления срока погашения.

Банк согласен выполнить эту операцию по простой учетной ставке 35 %

годовых: выкупная цена векселя

P = 25000(1 – 60/360 ( 0,35) = 23541,7 руб.;

сумма дисконта

D = S – P = 25000 – 23541,7 = 1458,3 руб.

При математическом дисконтировании используется простая процентная ставка

i. Расчеты выполняются по формуле

[pic]. (2.1.9)

Выражение 1/(1 + (t/k)i) называется дисконтным множителем математического

дисконтирования по простым процентам.

Этот метод применяется во всех остальных (кроме банковского учета)

случаях, когда возникает необходимость определить современную величину

суммы денег, которая будет получена в будущем. Например, покупатель

обязуется оплатить поставщику стоимость закупленных товаров через 90 дней

после поставки в сумме 1 млн. руб. Уровень простой процентной ставки

составляет 30 % годовых (обыкновенные проценты). Следовательно, текущая

стоимость товаров будет равна

P = 1/(1 + 90/360 ( 0,3) = 0,93 млн. руб.

Применив к этим условиям метод банковского учета, получим

P = 1(1 – 90/360 ( 0,3) = 0,925 млн. руб.

Второй вариант оказывается более выгодным для кредитора. Следует помнить,

что каких-то жестких требований выбора того либо иного метода выполнения

финансовых расчетов не существует. Никто не может запретить участникам

финансовой операции выбрать в данной ситуации метод математического

дисконтирования или банковского учета. Существует, пожалуй, единственная

закономерность – банками, как правило, выбирается метод, более выгодный для

кредитора (инвестора).

Основная область применения простых процентной и учетной ставок –

краткосрочные финансовые операции, длительность которых составляет менее 1

года. Вычисления с простыми ставками не учитывают возможности

реинвестирования начисленных процентов, потому что наращение и

дисконтирование производятся относительно неизменной исходной суммы P или

S. В отличие от них сложные ставки процентов учитывают возможность

реинвестирования процентов, так как в этом случае наращение производится по

формуле не арифметической, а геометрической прогрессии, первым членом

которой является начальная сумма P, а знаменатель равен (1 + i)

P, P(1 + i), P(1 + i)2, P(1 + i)3, …, P(1 + i)n,

где число лет ссуды n меньше числа членов прогрессии k на 1 (n = k – 1).

Наращенная стоимость (последний член прогрессии) находится по формуле

[pic], (2.1.10),

где (1 + i)n – множитель наращения декурсивных сложных процентов.

С позиций финансового менеджмента использование сложных процентов более

предпочтительно, так как признание возможности собственника в любой момент

инвестировать свои средства с целью получения дохода – краеугольный камень

всей финансовой теории. При использовании простых процентов эта возможность

часто не учитывается, поэтому результаты вычислений получаются менее

корректными. Тем не менее при краткосрочных финансовых операциях по-

прежнему широко применяются вычисления простых процентов. Некоторые

математики считают это досадным пережитком, оставшимся с тех пор, когда у

финансистов не было под рукой калькуляторов и они были вынуждены прибегать

к более простым, хотя и менее точным способам расчета. Представляется

возможным и несколько иное объяснение данного факта. При длительности

операций менее одного года (n < 1) начисление простых процентов

обеспечивает получение результатов даже более выгодных для кредитора, чем

использование сложных процентов. Выше уже отмечалась закономерность выбора

банками именно таких, более выгодных для кредитора способов. Поэтому было

бы наивно недооценивать вычислительные мощности современных банков и

интеллектуальный потенциал их сотрудников, полагая, что они используют

грубые методы расчетов только из-за их низкой трудоемкости. Трудно

представить себе банкира, хотя бы на секунду забывающего о собственной

выгоде.

Сама по себе сложная процентная ставка i ничем не отличается от простой и

рассчитывается по такой же формуле (2.1.1). Сложная учетная ставка

определяется по формуле (2.1.2). Так же как и в случае простых процентов,

возможно применение сложной учетной ставки для начисления процентов

(антисипативный метод)

[pic] (2.1.11)

где множитель перед Р – множитель наращения сложных антисипативных

процентов.

Однако практическое применение такого способа наращения процентов весьма

ограничено, скорее это из разряда финансовой экзотики.

Как уже отмечалось, наиболее широко сложные проценты применяются при

анализе долгосрочных финансовых операций (n > 1). На большом промежутке

времени в полной мере проявляется эффект реинвестирования, начисления

«процентов на проценты». В связи с этим вопрос измерения длительности

операции и продолжительности года в днях в случае сложных процентов стоит

менее остро. Как правило, неполное количество лет выражают дробным числом

через количество месяцев (3/12 или 7/12), не вдаваясь в более точные

подсчеты дней. Поэтому в формуле начисления сложных процентов число лет

практически всегда обозначается буквой n, а не выражением t/K, как это

принято для простых процентов. Наиболее щепетильные кредиторы, принимая во

внимание большую эффективность простых процентов на коротких отрезках

времени, используют смешанный порядок начисления процентов в случае, когда

срок операции (ссуды) не равен целому числу лет: сложные проценты

начисляются на период, измеренный целыми годами, а проценты за дробную

часть срока – по простой процентной ставке

[pic] (2.1.12)

где a – число полных лет в составе продолжительности операции; t – число

дней в отрезке времени, приходящемся на неполный год; K –временная база.

В этом случае вновь возникает необходимость выполнения календарных

вычислений по рассмотренным выше правилам. Например, ссуда в 3 млн. руб.

выдается 1 января 1997 г. по 30 сентября 1999 г. под 28 % годовых

(процентная ставка). В случае начисления сложных процентов за весь срок

пользования деньгами наращенная сумма составит

S = 3(1 + 0,28)^(2 + 9/12) = 5,915 млн. руб.

Если же использовать смешанный способ (например, коммерческие проценты с

точным числом дней), то получим

S = 3(1 + 0,28)^2(1 + 272 / 360 ( 0,28) = 6 млн. руб.

Таким образом, щепетильность кредитора в данном случае оказалась вовсе не

излишней и была вознаграждена дополнительным доходом в сумме 85 тыс. руб.

Важная особенность сложных процентов – зависимость конечного результата

от количества начислений в течение года. Здесь опять сказывается влияние

реинвестирования начисленных процентов: база начисления возрастает с каждым

новым начислением, а не остается неизменной, как в случае простых

процентов. Например, если начислять 20 % годовых 1 раз в год, то

первоначальная сумма в 1 тыс. руб. возрастет к концу года до 1,2 тыс. руб.

(1(1+ 0,2)). Если же начислять по 10 % каждые полгода, то будущая стоимость

составит 1,21 тыс. руб. (1(1 + 0,1)(1 + 0,1)), при поквартальном начислении

по 5 % она возрастет до 1,216 тыс. руб. По мере увеличения числа начислений

(m) и продолжительности операции эта разница будет очень сильно

увеличиваться. Если разделить сумму начисленных процентов при

ежеквартальном наращении на первоначальную сумму, то получится 21,6 %

(0,216/1 ( 100), а не 20 %. Следовательно, сложная ставка 20 % при

однократном и 20 % (четыре раза по 5 %) при поквартальном наращении

приводят к различным результатам, т. е. не являются эквивалентными. Цифра

20 % отражает уже не действительную (эффективную), а номинальную ставку.

Эффективной процентной ставкой считается значение 21,6 %. В финансовых

расчетах номинальную сложную процентную ставку принято обозначать буквой j.

Формула наращения по сложным процентам при начислении их m раз в году имеет

вид

[pic], (2.1.13)

Например, ссуда в сумме 5 млн. руб. выдана на 2 года по номинальной

сложной процентной ставке 35 % годовых с начислением процентов два раза в

год. Будущая сумма к концу срока ссуды составит

S = 5(1 + 0,35/2)^(2 ( 2) = 9,531 млн. руб.

При однократном начислении ее величина составила бы лишь 9,113 млн. руб.

(5(1 + 0,35)^2; зато при ежемесячном начислении возвращать пришлось бы уже

9,968 млн. руб. (5 ( 1 + (0,35/12)^

^(12 ( 2)).

При начислении антисипативных сложных процентов, номинальная учетная

ставка обозначается буквой f, а формула наращения принимает вид

[pic]. (2.1.14)

Выражение 1/[pic]^mn – множитель наращения по номинальной учетной ставке.

Дисконтирование по сложным процентам также может выполняться двумя

способами – математическое дисконтирование и банковский учет. Последний

менее выгоден для кредитора, чем учет по простой учетной ставке, поэтому

используется крайне редко. В случае однократного начисления процентов его

формула имеет вид

[pic], (2.1.15)

где (1 – d)n – дисконтный множитель банковского учета по сложной учетной

ставке.

При m > 1 получаем

[pic], (2.1.16)

где f – номинальная сложная учетная ставка; [pic] – дисконтный множитель

банковского учета по сложной номинальной учетной ставке.

Более широко распространено математическое дисконтирование по сложной

процентной ставке i. Для m = 1 получаем

[pic], (2.1.17)

где 1/(1 + i)n – дисконтный множитель математического дисконтирования по

сложной процентной ставке.

При неоднократном начислении процентов в течение года формула

математического дисконтирования принимает вид

[pic], (2.1.18)

где j – номинальная сложная процентная ставка; 1/[pic] – дисконтный

множитель математического дисконтирования по сложной номинальной процентной

ставке.

Например, требуется определить современную стоимость платежа в размере 3

млн. руб., который должен поступить через 1,5 года. Процентная ставка

составляет 40 %:

при m = 1 P = 3/(1 + 0,4)^1,5 = 1,811 млн. руб.;

при m = 2 (начисление 1 раз в полугодие) P = (3/(1 + 0,4/2)^

^(2 ( 1,5) = 1,736 млн. руб.;

при m = 12 (ежемесячное начисление) P = (3/(1 + 0,4/12)^

^(12 ( 1,5) = 1,663 млн. руб.

По мере увеличения числа начислений процентов в течение года (m)

промежуток времени между двумя смежными начислениями уменьшается – при m =

1 этот промежуток равен одному году, а при m = 12 – только 1 месяцу.

Теоретически можно представить ситуацию, когда начисление сложных процентов

производится настолько часто, что общее его число в году стремится к

бесконечности, тогда величина промежутка между отдельными начислениями

будет приближаться к нулю, т. е. начисление станет практически непрерывным.

Такая, на первый взгляд гипотетическая ситуация имеет важное значение для

финансов, поэтому при построении сложных аналитических моделей (например,

при разработке масштабных инвестиционных проектов) часто применяют

непрерывные проценты. Непрерывная процентная ставка (очевидно, что при

непрерывном начислении речь может идти только о сложных процентах)

обозначается буквой ? (читается «дельта»), часто этот показатель называют

силой роста. Формула наращения по непрерывной процентной ставке имеет вид

[pic], (2.1.19)

где e – основание натурального логарифма (? 2,71828...); edn – множитель

наращения непрерывных процентов.

Например, на сколько возрастет через три года сумма 250 тыс. руб., если

сегодня положить ее на банковский депозит под 15 % годовых, начисляемых

непрерывно?

S = 250 ( e^(0,15 ( 3) = 392,1 тыс. руб.

Для непрерывных процентов не существует различий между процентной и

учетной ставками, поскольку сила роста – универсальный показатель. Однако

наряду с постоянной силой роста может использоваться переменная процентная

ставка, величина которой меняется по заданному закону (математической

функции). В этом случае можно строить очень мощные имитационные модели,

однако математический аппарат расчета таких моделей достаточно сложен и не

рассматривается в настоящем пособии, так же как и начисление процентов по

переменной непрерывной процентной ставке.

Непрерывное дисконтирование с использованием постоянной силы роста

выполняется по формуле

[pic], (2.1.20)

где 1/edn – дисконтный множитель дисконтирования по силе роста.

Например, в результате осуществления инвестиционного проекта планируется

получить через два года доход в размере 15 млн. руб. Чему будет равна

приведенная стоимость этих денег в сегодняшних условиях, если сила роста

составляет 22 % годовых?

P = 15/e^(0,22 ( 2) = 9,66 млн. руб.

2.2. Элементарные финансовые расчеты

В предыдущем параграфе были изложены основные принципы применения

процентных вычислений в практических финансовых расчетах. Приведенные в

этой главе примеры относились к банковской деятельности, так как в этой

сфере механизм их действия наиболее нагляден и понятен. Однако сфера

использования финансовых вычислений значительно шире, чем расчет параметров

банковских кредитов. Хорошее владение основами финансовой математики

позволяет сравнивать между собой эффектив-

ность отдельных операций и обосновывать наиболее оптимальные управленческие

решения. Для анализа финансовых показателей в настоящее время применяются

самые изощренные математические методы. Наличие докторской степени по

математике пока не является обязательным требованием для финансового

менеджера большинства предприятий, однако знание элементарных свойств

финансовых показателей и основных взаимосвязей между ними необходимо

начиная с первого дня практической работы.

Большую помощь финансисту оказывают специальные компьютерные программы, а

также финансовые калькуляторы, позволяющие автоматизировать вычисление

многих показателей. Для начисления сложных процентов и дисконтирования

широко используются финансовые таблицы. В этих таблицах приводятся значения

множителей наращения (дисконтных множителей) для заданных n и i. Для

нахождения наращенной стоимости достаточно умножить известную

первоначальную сумму на табличное значение множителя наращения. Аналогично

можно найти приведенную величину будущих денег, умножая их сумму на

дисконтный множитель из таблицы. Рассмотрим некоторые другие элементарные

способы использования результатов финансовых вычислений.

В условиях нестабильной экономики банки и другие кредиторы с целью

снижения своего процентного риска могут устанавливать переменные ставки

процентов для различных финансовых операций. Например, по ссуде в размере 2

млн. руб. общей продолжительностью 120 дней в течение первых двух месяцев

будут начисляться 30 % годовых, а начиная с 61 дня ежемесячно простая

процентная ставка будет увеличиваться на 5 % (обыкновенные проценты).

Фактически ссуда разбивается на несколько составляющих, по каждой из

которых установлены свои условия. Необходимо найти наращенные суммы по

каждой из составляющих, а затем сложить их. Вспомним, что аналогом

процентной ставки в статистике является показатель «темп прироста». При

начислении простых процентов следует говорить о базисных темпах прироста,

так как первоначальная сумма P остается неизменной. Данная задача в

статистических терминах может быть интерпретирована как сложение базисных

темпов прироста с последующим умножением на первоначальную сумму займа.

Общая формула расчета будет иметь следующий вид:

[pic], (2.2.1)

где N общее число периодов, в течение которых проценты начисляются по

неизменной ставке. Подставив в это выражение условия нашего примера,

получим

S = 2(1 + (60 60 ( 0,3) + (30/360 ( 0,35) + (30/360 ( 0,4)) =

= 2,225 млн. руб.

Соответственно для сложных процентов речь пойдет уже не о базисных, а о

цепных темпах прироста, которые должны не складываться, а перемножаться

[pic]. (2.2.2)

Подставив условия примера, получим

S = 2(1 + 0,3)60/360(1 + 0,35)30/360(1 + 0,4)30/360 = 2,203 млн. руб.

Данную задачу можно решить несколько иным путем – рассчитав сначала

средние процентные ставки. Расчет средних процентных ставок (или расчет

средних доходностей) – вообще очень распространенная в финансах операция.

Для ее выполнения полезно опять вспомнить о математико-статистической

природе процентных ставок. Так как начисление простых процентов происходит

в арифметической прогрессии, средняя простая ставка рассчитывается как

средняя арифметическая взвешенная

[pic], (2.2.3)

где N – общее число периодов, в течение которых процентная ставка

оставалась неизменной

Сложные проценты растут в геометрической прогрессии, поэтому средняя

сложная процентная ставка рассчитывается как средняя геометрическая

взвешенная. В качестве весов в обоих случаях используются продолжительности

периодов, для которых действовала фиксированная ставка

[pic]. (2.2.4)

Снова используем данные нашего примера. В случае начисления простых

процентов получим

?пр = ((0,3 ( 60) + (0,35 ( 30) + (0,4 ( 30))/120 = 0,3375 = 33,75 %,

S = 2(1 + 0,3375 ( 120/360) = 2,225 млн. руб.

Таким образом, средняя процентная ставка составила 33,75 % и начисление

процентов по этой ставке за весь срок ссуды дает такой же результат, как и

тот, что был получен по формуле (2.2.1). Для сложных процентов выражение

примет вид

?сл = ((1 + 0,3)60(1 + 0,35)30(1 + 0,4)30)1/120 – 1 = 0,33686 = 33,69 %,

S = 2(1 + 0,33686)120/360 = 2,203 млн. руб.

Начисление процентов по средней процентной ставке 33,69 % также дает

результат, эквивалентный тому, что был получен по формуле (2.2.2).

Понимание различий механизмов наращения простых и сложных процентов

помогает избежать довольно распространенных ошибок. Например, следует

помнить, что такой процесс, как инфляция, развивается в геометрической, а

не в арифметической прогрессии, т. е. к нему должны применяться правила

начисления сложных, а не простых процентов. Темпы прироста цен в этом

случае будут цепными, а не базисными, так как в каждом последующем месяце

рост цен относится к предыдущему месяцу, а не к началу года или какой-либо

иной неизменной базе. Например, если инфляция в январе составила 5 %, в

феврале 4 %, а в марте 9 %, то общая инфляция за квартал будет равна не 18

% (сумма месячных показателей), а 19,03 % (1,05 ( 1,04 ( 1,09 – 1).

Среднемесячный уровень инфляции за этот квартал составит

(1,05 ( 1,04 ( 1,09)1/3 – 1 = 5,98 %. Вместе с тем, если среднемесячная

инфляция за год составила 5,98 %, то это не значит, что общая инфляция за

год в 12 раз больше (71,76 %). На самом деле годовая инфляция в этом случае

составит свыше 100,7 % (1,059812 – 1).

В предыдущей главе обращалось внимание на сложности, возникающие при

попытке понять смысл антисипативного начисления процентов. Рассмотрим

ситуацию, в которой необходимо прибегнуть именно к этому способу. Например,

коммерсант предлагает вместо оплаты наличными выписать на стоимость

закупленных материалов вексель в сумме 500 тыс. рублей со сроком оплаты

через 90 дней, который может быть учтен в банке по простой учетной ставке

25 % годовых (коммерческие проценты с точным числом дней ссуды). Для

определения суммы, которую понадобится проставить в этом векселе,

необходимо начислить проценты на стоимость товаров, используя

антисипативный метод. Сумма векселя составит 533,333 тыс. рублей (500 (

1/(1 – – 90/360 ( 0,25). Если продавец в тот же день учтет вексель в

банке (на оговоренных условиях), то получит на руки ровно 500 тыс. руб.

(533,333(1 – 90/360 ( 0,25)). Таким образом, начисление антисипативных

процентов используется для определения наращенной суммы, которая затем

будет дисконтироваться по той же самой ставке, по которой производилось

начисление. Такое чисто техническое использование наращения по учетной

ставке преобладает в практических расчетах.

Наряду с расчетом будущей и современной величины денежных средств часто

возникают задачи определения других параметров финансовых операций: их

продолжительности и величины процентной или учетной ставок. Например, может

возникнуть вопрос: сколько времени понадобится, чтобы данная сумма при

заданном уровне процентной ставки удвоилась, или при каком уровне учетной

ставки в течение года исходная сумма возрастет в полтора раза? Решение

подобных задач сводится к преобразованию соответствующей формулы наращения

(дисконтирования) таким образом, чтобы вычислить значение неизвестного

параметра. Например, если надо рассчитать продолжительность ссуды по

известным первоначальной и будущей суммам, а также уровню простой

процентной ставки, то, преобразуя формулу начисления простых декурсивных

процентов (S = P(1 + ni)), получим формулу (2.2.5) из табл. 2.2.1. По такой

же формуле будет определяться срок до погашения обязательства при

математическом дисконтировании.

Определение срока финансовой операции для антисипативного начисления

процентов и банковского учета производится по формуле (2.2.6) из табл.

2.2.1. Например, нужно определить, через какой период времени произойдет

удвоение суммы долга при начислении на нее 20 % годовых простых: а) при

декурсивном методе начисления процентов; б) при использовании

антисипативного метода. Временная база в обоих случаях принимается равной

365 дням (точные проценты). Применив формулы (2.2.5) и (2.2.6), получим:

а) t = (2 – 1)/0,2 ( 365 = 1825 дней (5 лет);

б) t = (1 – 1/2)/0,2 ( 365 = 912,5 дней (2,5 года).

Таблица 2.2.1

Формулы расчета продолжительности финансовых операций

и процентных (учетных) ставок по ним

|Способ |Продолжительно|Процентная |

|начисления |сть ссуды |(учетная) ставка|

|процентов | | |

| 1. Простые | [pic] | [pic] |

|декурсивные |(2.2.5) |(2.2.12) |

|проценты (t – | | |

|длительность в | | |

|днях, K – | | |

|временная база)| | |

| 2. Простые | [pic] | [pic] |

|антисипативные |(2.2.6) |(2.2.13) |

|проценты (t – | | |

|длительность в | | |

|днях, K – | | |

|временная база)| | |

| 3. Сложные | [pic] | [pic] |

|декурсивные |(2.2.7) |(2.2.14) |

|проценты | | |

|проценты по | | |

|эффективной | | |

|ставке i (n – | | |

|длительность, | | |

|лет) | | |

| 4. Сложные |[pic] (2.2.8) |[pic] (2.2.15) |

|декурсивные | | |

|проценты по | | |

|номинальной | | |

|ставке j (n – | | |

|длительность, | | |

|лет) | | |

| | [pic] | [pic] |

|5. Дисконтирова|(2.2.9) |(2.2.16) |

|ние по сложной | | |

Страницы: 1, 2, 3, 4