Ивасенко А.Г. и др. Финансовый менеджмент

|эффективной | | |

|учетной ставке | | |

|d (n – | | |

|длительность, | | |

|лет) | | |

| |[pic] |[pic] (2.2.17) |

|6. Дисконтирова|(2.2.10) | |

|ние по сложной | | |

|номинальной | | |

|учетной ставке | | |

|f (n – | | |

|длительность, | | |

|лет) | | |

| Непрерывное | [pic] | [pic]|

|наращение |(2.2.11) |(2.2.18) |

|(дисконтировани| | |

|е) по | | |

|постоянной силе| | |

|роста d (n – | | |

|длительность, | | |

|лет) | | |

Эти же формулы можно применить для определения срока до погашения

обязательств при дисконтировании. Например, по векселю номиналом 700 тыс.

руб. банк выплатил 520 тыс. руб., произведя его учет по простой ставке 32 %

годовых. Чему равен срок до погашения векселя? Применив формулу (2.2.6),

получим

t = (1 – 520/700)/0,32 ( 360 = 289 дней.

Товар стоимостью 1,5 млн. руб. оплачивается на условиях коммерческого

кредита, предоставленного под 15 % годовых (простая процентная ставка,

временная база – 360 дней). Сумма оплаты по истечении срока кредита

составила 1 млн. 650 тыс. руб. Чему равен срок предоставленного кредита? Из

формулы (2.2.5) следует

t = (1,65/1,5 – 1)/0,15 ( 360 = 240 дней.

Например, сколько лет должен пролежать на банковском депозите под 20 %

(сложная процентная ставка i) вклад 100 тыс. руб., чтобы его сумма

составила 250 тыс. руб.? Подставив данные в формулу (2.2.7), получим

n = log2(250/100)/log2(1 + 0,2) ? 5 лет.

Если начисление процентов при этих же условиях будет производиться

ежемесячно, то в соответствии с формулой (2.2.8)

n = log2(250/100)/log2(1 + 0,2/12)12 ? 4,6 года.

Чтобы избежать использования вычислений логарифмов, разработаны

упрощенные способы приближенных вычислений срока финансовых операций. Один

из них – «правило 70» – позволяет определить период удвоения первоначальной

суммы при начислении сложных процентов по приближенной формуле 70 %/i.

Проверим его на нашем примере, заменив значение наращенной суммы 250 тыс.

руб. на 200 тыс. руб. По «правилу 70», эта сумма должна быть накоплена

через 3,5 года (0,7/0,2). Подставив соответствующие значения в формулу

(2.2.7), получим 3,8 года.

Еще одним важнейший параметр любой финансовой операции – процентная

(учетная) ставка. Кроме технической функции, выполняемой этим показателем в

ходе расчетов, он используется для оценки доходности – одного из

фундаментальных понятий финансового менеджмента. Часто можно услышать (или

прочитать) следующее: «на этой сделке я заработал 50 %» или «менеджеры

нашего фонда обеспечат годовую доходность по Вашим вкладам не ниже 100 % »

и т. п. Следует сразу оговориться, что сами по себе эти выражения вполне

корректны, однако объем содержащейся в них полезной информации значительно

меньше, чем может показаться на первый взгляд. Из содержания предыдущей

главы можно сделать вывод, что любое упоминание о процентных ставках

требует массу оговорок и уточнений. Попытаемся понять смысл первого

выражения. Во-первых, следует уточнить, к какому промежутку времени

относится полученный доход – месяцу, году или длительности самой сделки. В

последнем случае необходимо знать, чему равна эта длительность. Так как

ничего не известно ни о сумме ни о длительности сделки, то ее результат «50

% дохода» невозможно сравнить с доходностью какой-то другой операции, чтобы

сделать вывод об уровне ее эффективности. Если в ответ на это выражение кто-

нибудь заявит: «А я имею 25 % годовых по своему банковскому депозиту», то

определить, который же из этих двух инвесторов оказался более удачливым,

будет практически невозможно.

Сталкиваясь с упоминанием о процентных ставках, финансист должен

выяснить, о каких процентах – простых или сложных, дискретных или

непрерывных, – идет речь. Далее, необходимо точно определиться с временной

базой – рассчитываются ли годовые проценты или какие-то еще, если проценты

годовые, то возникает вопрос, каким образом определяется длительность

операции и продолжительность года. В случае начисления сложных процентов

должно быть оговорено количество начислений процентов в течение года. В

результате может оказаться, что методика определения доходности,

используемая одним из контрагентов, не совпадает с той, что «принята на

вооружение» другой стороной. Однако в этом уже не будет никакой трагедии,

так как, зная особенности обеих этих методик, финансисты достаточно быстро

приведут результаты своих расчетов в сопоставимый вид. Следовательно,

своевременно задавая необходимые вопросы, финансист тем самым предотвращает

возможные неприятные последствия использования несогласованных терминов.

Вряд ли в обозримом будущем удастся заставить всех рассчитывать доходность

по какой-либо единой методике, поэтому задача финансиста состоит не в том,

чтобы вынудить своего контрагента применять единственно «правильный»

способ, а в том, чтобы как можно скорее разобраться самому, что именно

понимает под термином «доходность» его собеседник, и после этого решить,

каким образом можно унифицировать расчеты. Вопросы определения доходности

заслуживают отдельного разговора, поэтому здесь будут рассмотрены наиболее

общие моменты расчета уровня процентных ставок в отдельных финансовых

операциях и нахождения эквивалентных им значений.

Вначале рассмотрим способы расчета величины процентных (учетных) ставок,

когда заданы другие параметры финансовой операции. Преобразовав формулы

декурсивного и антисипативного наращения простых процентов, получим

выражения (2.2.12) и (2.2.13) в табл. 2.2.1. Например, чему будет равна

простая процентная ставка по ссуде, выданной на 90 дней в размере

350 тыс. руб., и возвращенной по истечении срока в сумме 375 тыс. руб.

(временная база 360 дней)? Подставив эти данные в формулу (2.2.12), получим

i = (375 – 350) / (350 ( 90) ( 360 ? 28,6 %.

Вексель номиналом 1 млн. рублей учтен в банке за 60 дней до его погашения

в сумме 900 тыс. рублей. По какой простой учетной ставке было произведено

его дисконтирование? Используем для расчетов формулу (13)

d = (1 – 0,9) / (1 ( 60) ( 360 = 60 %.

Очевидно, что даная методика может (и должна) использоваться при анализе

любых финансовых операциях, а не только в процессе банковского

кредитования. Например, иностранная валюта в объеме 1000 единиц, купленная

по курсу 20 руб. за 1 единицу, через месяц была продана по курсу 20 руб. 50

коп. Определить доходность этой операции по годовой простой процентной

ставке (коммерческие проценты). Из формулы (12) получаем

i = (20 500 – 20 000)/(20 000 ( 30)360 = 30 %.

Аналогичный подход к расчету доходности используется и на фондовых

рынках. Например, Центральным банком России была рекомендована следующая

формула расчета доходности ГКО:

[pic] (2.2.19)

где N – номинал облигации; P – цена ее приобретения; t – срок до погашения.

По сути, эта формула повторяет формулу (2.2.12) применительно к точным

процентам (временная база – 365 дней). Например, облигация номиналом 10

тыс. руб. была приобретена за 8,2 тыс. руб. за 40 дней до погашения. Ее

годовая доходность, рассчитанная как простая процентная ставка, составит

r = (10/8,2 – 1)365/40 ( 100 ? 200,3 %.

Точно такой же результат можно получить, применив формулу (2.2.12).

Не следует отождествлять процентную ставку, указываемую в кредитном

договоре, с доходностью операции, рассчитанной в процентах. В первом случае

процентная ставка является реальным параметром финансовой операции,

однозначно определяющим величину платежа, который должен последовать в

случае исполнения договора. Доходность же – это производная величина, не

определяющая, а определяемая теми денежными потоками, которые порождает

кредитный договор (ценная бумага или другой финансовый инструмент). В

первой главе данного пособия подчеркивался абстрактный характер понятия

«прибыль предприятия». То же самое можно сказать о доходности – в явной

форме она не присутствует в ходе осуществления финансовой операции.

Рассчитывая доходность финансовой операции, инвестор получает субъективную

оценку ее величины, зависящую от целого ряда предпосылок, таких как способ

начисления процентов, выбор временной базы и т. п. Эти предпосылки нельзя

считать объективными и неизбежными – при всем уважении к Центральному банку

инвестор может определить доходность купленной им ГКО по ставке сложных, а

не простых процентов, не нарушив при этом ни физических, ни юридических

законов (и поступив совершенно правильно с позиции финансовой теории).

Рекомендация вычислять доходность по методике наращения простых процентов

используется на данном рынке как соглашение его участников (точно такое же,

как соглашение о подсчете точной временной базы). Выполнение условий этого

соглашения гарантирует участникам рынка сопоставимость результатов их

расчетов, т. е. помогает избежать путаницы, но не более этого. Степень

соответствия того либо иного метода расчета доходности идеалу в данном

контексте не имеет значения – это предмет научных дискуссий. Используя

неправильную или несовершенную методику расчета доходности, инвестор имеет

все шансы достаточно быстро разориться, точно так же как и предприятие,

завышающее прибыль вследствие неправильного калькулирования издержек. Но

конечной причиной банкротства станет отсутствие денег для покрытия

обязательств, до этого момента ни один кредитор не сможет вчинить иск о

банкротстве только на основании несогласия с методикой подсчета доходности,

которой пользуется должник.

Для финансового менеджмента сложные проценты представляют неизмеримо

бльшую ценность, чем простые. Очевидно, что при использовании методики

расчета простых процентов значение доходности искажается уже из-за того,

что данная методика не учитывает возможности реинвестирования полученных

доходов. Поэтому при прочих равных условиях безусловно предпочтителен

расчет доходности как ставки сложных процентов. Рассмотрим методику

определения величины этой ставки, когда известны другие параметры

финансовой операции. В результате преобразования исходных выражений

наращения (дисконтирования) по сложным процентам получим 2.2.14…2.2.18

(табл. 2.2.1).

В качестве иллюстрации рассчитаем доходность облигации из предыдущего

примера как ставку сложного процента (наращение 1 раз в году):

i = (10/8,2)365/40 – 1 ? 511,6 %.

Этот результат более чем в 2,5 раза превышает доходность, рассчитанную

как ставка простых процентов. Означает ли это, что инвестор, использующий

для расчета доходности сложные проценты, в два с половиной раза богаче

того, кто, купив в один день с ним точно такую же облигацию, применяет для

вычислений простые проценты? Тогда последнему следует срочно разучивать

новую формулу и точно так же богатеть.

Однако в случае сложных процентов не все так однозначно. Если

рассчитывать доходность как сложную номинальную ставку (16), то ее уровень

резко снизится. При m = 12 получим

j = 12((10/8,2)1/(12 ( 40/365)) – 1 ? 195,5 %.

При расчете доходности как силы роста – непрерывные проценты (19) – ее

уровень будет более точно соответствовать тому, что был рассчитан с помощью

простой процентной ставки,

d = ln(10/8,2)/(40/365) ? 203,6 %.

Чтобы не запутаться в обилии методов расчета процентных ставок, не

обязательно зазубривать каждую формулу. Достаточно четко представлять,

каким образом она получена. Кроме того, следует помнить, что любому

значению данной ставки может быть поставлено в соответствие эквивалентное

значение какой-либо другой процентной или учетной ставки. В предыдущей

главе был приведен подобный пример эквивалентности между простыми

процентной и учетной ставками (2.2.5). Эквивалентными называются ставки,

наращение или дисконтирование по которым приводит к одному и тому же

финансовому результату. Например, в условиях последнего примера

эквивалентными являются простая процентная ставка 200,3 % и сложная

процентная ставка 511,6 %, так как начисление любой из них позволяет

нарастить первоначальную сумму 8,2 тыс. руб. до 10 тыс. руб. за 40 дней.

Приравнивая между собой множители наращения (дисконтирования), можно

получить несложные формулы эквивалентности различных ставок. Для удобства

эти формулы представлены в табличной форме. В заголовки граф табл. 2.2.2

помещены простые процентная (i) и учетная (d) ставки. В заголовках строк

этой таблицы указаны все рассмотренные в данном пособии ставки. На

пересечении граф и столбцов приводятся формулы эквивалентности

соответствующих ставок. В таблицу не включены уравнения эквивалентности

простых процентных и сложных учетных ставок вследствие маловероятности

возникновения необходимости в таком сопоставлении.

Знание уравнений эквивалентности позволяет без труда переходить от одного

измерения доходности к другому. Например, доходность облигаций по простой

процентной ставке составила за полгода 60 %. По формуле (2.2.21) найдем,

что в пересчете на сложные проценты это составляет 69 %. Доходность

векселя, дисконтированного по простой учетной ставке 50 % за 3 месяца до

срока погашения, в пересчете на простую процентную ставку составит 57,14 %

(2.2.34), если же по процентной ставке принята точная временная база (365

дней), то, применив формулу (2.2.36), получим i = 57,94 %).

Например, предприятие может столкнуться с необходимостью выбора между

получением кредита на 5 месяцев под сложную номинальную ставку 24 %

(начисление процентов поквартальное) и учетом в банке векселя на эту же

сумму и с таким же сроком погашения. Небходимо определить простую учетную

ставку, которая сделает учет векселя равновыгодной операцией по отношению к

получению ссуды. По формуле (26) получим

d = 22,21 %.

Кроме формул, приведенных в табл. 2.2.2 и 2.2.3, следует отметить еще

одно полезное соотношение. Между силой роста и дисконтным множителем

декурсивных процентов существунт следующая связь:

[pic]. (2.2.38)

Таблица 2.2.2

Эквивалентность простых ставок

| |Простая процентная|Простая учетная |

| |ставка |ставка |

| |(iпр) |(dпр) |

| | [pic] | [pic] |

|Сложна|(2.2.20) |(2.2.22) |

|я |[pic] (2.2.21) |[pic] (2.2.23) |

|процен| | |

|тная | | |

|ставка| | |

|(iсл) | | |

| | [pic] | [pic] |

|Сложна|(2.2.24) |(2.2.26) |

|я |[pic] |[pic] (2.2.27) |

|номина|(2.2.25) | |

|льная | | |

|процен| | |

|тная | | |

|ставка| | |

|(j) | | |

| | [pic] | [pic] |

|Сила |(2.2.28) |(2.2.30) |

|роста |[pic] (2.2.29) |[pic] (2.2.31) |

|(d) | | |

| | [pic]|– |

|Проста|(2.2.32) | |

|я |[pic] (2.2.33) | |

|учетна| | |

|я | | |

|ставка| | |

|(dпр) | | |

|n = | | |

|t/K | | |

| | [pic] |– |

|Проста|(2.2.34) | |

|я |[pic] (2.2.35) | |

|учетна| | |

|я | | |

|ставка| | |

|(dпр) | | |

|ki = | | |

|kd = | | |

|360 | | |

| | [pic] |– |

|Проста|(2.2.36) | |

|я |[pic] (2.2.37) | |

|учетна| | |

|я | | |

|ставка| | |

|(dпр) | | |

|ki = | | |

|365 | | |

|kd = | | |

|360 | | |

Таблица 2.2.3

Эквивалентность сложных процентных ставок

| |Сложная процентная|Сложная учетная |

| |ставка |ставка |

| |(iсл) |(dсл) |

| | [pic] | [pic] |

|Сложна|(2.2.39) |(2.2.41) |

|я |[pic] (2.2.40) |[pic] (2.2.42) |

|номина| | |

|льная | | |

|процен| | |

|тная | | |

|ставка| | |

|(j) | | |

| | [pic]| Сложная |

|Сила |(2.2.43) |номинальная |

|роста |[pic] (2.2.44)|процентная ставка (j)|

|(d) | | |

| | | [pic] |

| | |(2.2.45) |

| | |[pic] (2.2.46) |

| | [pic]|– |

|Сложна|(2.2.47) | |

|я |[pic] | |

|учетна|(2.2.48) | |

|я | | |

|ставка| | |

|(dсл) | | |

По мере усложнения задач, стоящих перед финансовым менеджментом, сфера

применения непрерывных процентов будет расширяться, так как при этом

становится возможным использовать более мощный математический аппарат.

Особенно наглядно это проявляется в случае непрерывных процентных ставок.

В практике финансистов данный способ пока еще не занял должного места, что

в какой-то мере объясняется его непри-вычностью, может быть, чересчур

«отвлеченным» характером. Однако трезвый анализ показывает, что

предположение о непрерывности реинвестирования начисленных процентов не так

уж абстрактно и нереально. В самом деле, как для простых, так и для сложных

процентов, факт непрерывности их начисления ни у кого не вызывает сомнений

(годовая ставка 36 % означает 3 % в месяц, 0,1 % в день и т. д., т. е.

можно начислять проценты хоть за доли секунды). Но точно такой же аксиомой

для финансов является признание возможности мгновенного реинвестирования

любых полученных сумм. Что же мешает совместить два этих предположения? В

теории сумма начисленных процентов может (и должна) реинвестироваться сразу

по мере ее начисления, т. е. непрерывно. В данном утверждении ничуть не

меньше логики, чем в предположении, что реинвестирование должно

производиться дискретно. Почему реинвестирование 1 раз в год считается

более «естественным» чем 12 или 6 раз? Почему эта периодичность

привязывается к календарным периодам (год, квартал, месяц), почему нельзя

реинвестировать начисленные сложные проценты, скажем, 39 раз в год или 666

раз за период между двумя полнолуниями? На все эти вопросы ответ, скорее

всего, будет один – так сложилось, так привычно, так удобнее. Но выше уже

было отмечено, что практический расчет величины реальных денежных потоков

(например, дивидендных или купонных выплат) и определение доходности

финансовых операций – это далеко не одно и то же. Если привычнее и удобнее

выплачивать купон по облигации два раза в год, то так и следует поступать.

Но определять доходность этой операции более логично по ставке непрерывных

процентов.

Например, по вкладу в размере 10 тыс. руб. начисляется 25 простых

процентов в год. В конце первого года вклад возрастет до 12 500 руб.

Доходность, измеренная как по простой (формула 2.2.12), так и сложной

(2.2.14) процентной ставкам i, составит 25 % годовых. Однако, измеряя

доходность по номинальной ставке j (2.2.15) при m = 2, получим лишь 23,61

%, так как в этом случае будет учтена потерянная вкладчиком возможность

реинвестирования процентов хотя бы два раза в год. Если же измерить

доходность по силе роста (2.2.18), то она окажется еще ниже – всего 22,31

%, так как теоретически можно реинвестировать начисленные проценты не два

раза в год, а непрерывно.

2.3. Определение современной

и будущей величины денежных потоков

Содержание двух предыдущих глав было посвящено вопросам, относящимся

исключительно к единичным, разовым платежам, хотя для финансового

менеджмента наибольший интерес представляет изучение денежных потоков.

Основные правила процентных вычислений, рассмотренные нами ранее, остаются

неизменными и для совокупности платежей, однако возникает необходимость

ввести несколько дополнительных понятий. В финансовом анализе для

обозначения денежных потоков в наиболее общем смысле используется термин

рента. Каждый от-

дельный рентный платеж называют членом ренты. Частным случаем ренты

является финансовая рента, или аннуитет, – такой поток платежей, все члены

которого равны друг другу, так же как и интервалы времени между ними. Часто

аннуитетом называют финансовый актив, приносящий фиксированный доход

ежегодно в течение ряда лет. В буквальном переводе «аннуитет» означает

выплату с интервалом в один год, однако встречаются потоки с иной

периодичностью платежей. Очевидно, что рента – это более широкое понятие,

чем аннуитет, так как существует множество денежных потоков, члены которых

не равны друг другу или распределены неравномерно.

В данном параграфе будут рассмотрены примеры и таких неравномерных

денежных потоков, но основное внимание будет уделено аннуитету как наиболее

методически разработанному виду рент. Форму аннуитетов имеют многие

финансовые потоки, например выплата доходов по облигациям или платежи по

кредиту, страховые взносы и др. Можно сказать, что финансы тяготеют к

упорядочению денежных потоков. Это и понятно, так как равномерность любых

процессов связана с их упорядоченностью, а следовательно – предсказуемостью

и определенностью. И хотя риск как мера неопределенности неотделим от

финансов, однако с увеличением этого риска происходит трансформация

финансовой деятельности в индустрию азартных игр. Различие между двумя

ценными бумагами – облигацией, имеющей высокий рейтинг, и лотерейным

билетом – состоит именно в том, что первая из них с достаточно высокой

вероятностью гарантирует ее владельцу возникновение упорядоченного

положительного денежного потока (аннуитета).

Принцип временной ценности денег делает невозможным прямое суммирование

членов ренты. Для учета влияния фактора времени к каждому члену ренты

применяются рассмотренные выше правила наращения и дисконтирования. Причем

в анализе денежных потоков применяется техника вычисления только сложных

процентов, т. е. предполагается, что получатель потока имеет возможность

реинвестировать получаемые им суммы. Если бы размеры рент всегда

ограничивались двумя-тремя членами, то необходимость создания специальных

способов расчета денежных потоков, возможно, и не возникла бы. Ни в теории

ни на практике таких ограничений нет, наоборот, существуют большие, очень

большие и даже бесконечные денежные потоки (вечные ренты), поэтому были

разработаны специальные методы, позволяющие анализировать ренту не по

каждому ее члену в отдельности, а как единую совокупность – рассчитывать ее

будущую и приведенную величины, а также определять размеры других важных

параметров ренты.

Как уже отмечалось ранее, в процессе начисления сложных процентов на

единичную сумму P возникает геометрическая прогрессия со знаменателем (1 +

i), наращенная сумма S представляет собой последний член этой прогрессии

P(1 + i)n. Денежный поток представляет собой совокупность таких единичных

сумм Pk, поэтому наращение денежного потока означает нахождение суммы всех

k последних членов геометрических прогрессий, возникающих по каждому из

них. В случае аннуитета задача упрощается, так как Pk в этом случае будет

постоянной величиной, равной P. Таким образом, возникает одна

геометрическая прогрессия с первым членом P и знаменателем (1 + i). Отличие

от сложных процентов для единичного платежа здесь заключается в том, что

требуется найти не последний член прогрессии, а ее сумму. В случае

дисконтирования аннуитета меняется лишь знаменатель прогрессии – он будет

равен не (1 + i), а 1/(1 + i). Приведенная стоимость аннуитета находится

как сумма вновь полученной геометрической прогрессии.

Наряду с членом ренты (обозначим его R) любой денежный поток

характеризуется рядом других параметров: период ренты (t) – временной

интервал между двумя смежными платежами; срок ренты (n) – общее время, в

течение которого она выплачивается; процентная ставка (i) – ставка сложного

процента, используемая для наращения и дисконтирования платежей, из которых

состоит рента; число платежей за 1 период ренты (p) используется в том

случае, если в течение первого периода ренты производится больше чем 1

выплата денежных средств; число начислений процентов в течение 1 периода

ренты (m) – при начислении (дисконтировании) по номинальной процентной

ставке (j).

В зависимости от числа платежей за период различают годовые и p-срочные

ренты. В первом случае за первый период ренты (равный, как правило, 1 году)

производится 1 выплата; во втором в течение периода производится p выплат

(p > 1). В случае очень частых выплат рента может рассматриваться как

непрерывная (p > ?); значительно чаще в финансовом анализе имеют дело с

дискретными рентами, для которых p – конечное целое число. Так же как и при

использовании сложной процентной ставки для единичных сумм, наращение

(дисконтирование) рент может производиться 1 раз за период, m раз за период

или непрерывно. По величине членов денежного потока ренты могут быть

постоянными (с равными членами) и переменными. По вероятности выплат ренты

делятся на верные и условные. В случае условной ренты выплата ее членов

ставится в зависимость от наступления какого-либо условия. По своей общей

продолжительности (или по числу членов) различают ограниченные (с конечным

числом членов) и бесконечные (вечные, бессрочные) ренты. По отношению к

фиксированному моменту начала выплат ренты могут быть немедленными и

отложенными (отсроченными). Ренты, платежи по которым производятся в конце

периода, называются обычными, или постнумерандо; при выплатах в начале

периода говорят о рентах пренумерандо.

Рассмотрим пример определения будущей величины ограниченной постоянной

ренты (аннуитета) постнумерандо, которая выплачивается 1 раз в год (p = 1)

и проценты по которой начисляются по сложной эффективной процентной ставке

i 20 % годовых также 1 раз в год (m = 1). Размер годового платежа R

составляет 3 тыс. руб., общий срок ренты n равен 5 годам.

Таблица 2.3.1

Наращение денежного потока

|№ периода |1 |2 |3 |4 |5 |Ито|

| | | | | | |го |

| 1. Член |3 |3 |3 |3 |3 |15 |

|ренты, | | | | | | |

|тыс. руб. | | | | | | |

| 2. Время |4 |3 |2 |1 |0 |– |

|до | | | | | | |

|конца ренты,| | | | | | |

| | | | | | | |

|периодов,лет| | | | | | |

| |(1+0|(1+0,|(1+0,|(1+0,|(1+0|– |

|3. Множитель|,2)4|2)3 |2)2 |2)1 |,2)0| |

| | | | | | | |

|наращения | | | | | | |

| |6,22|5,18 |4,32 |3,6 |3 |22,|

|4. Наращенна| | | | | |32 |

|я величина, | | | | | | |

|тыс. руб. | | | | | | |

Полученное значение (22,32 тыс. руб.) заметно больше арифметической суммы

отдельных членов ренты (15 тыс. руб.), однако она значительно меньше той

гипотетической суммы, которая могла быть получена, если бы мы захотели

нарастить по ставке 20 % все 15 тыс. руб. за весь срок ренты (15*; 1,25).

Наращенная сумма ренты S получена путем последовательного начисления

процентов по каждому члену ренты и последующего суммирования полученых

результатов. Введя обозначение k = номеру периода ренты, в наиболее общей

форме данный процесс можно выразить следующей формулой:

[pic]. (2.3.1)

В нашем примере член ренты R неизменен в течение всего срока, процентная

ставка i также постоянна. Поэтому наращенную величину ренты можно найти как

сумму геометрической прогрессии с первым членом 3000 и знаменателем (1 +

0,2)

[pic]

Следовательно, от общей формулы наращения ренты (2.3.1) можно перейти к

ее частному случаю – формуле наращения аннуитета

[pic]. (2.3.2)

Второй сомножитель этого выражения – ((1 + i)n – 1)/i называется

множителем наращения аннуитета. Так же как и в случае с начислением

процентов на единичные суммы, значения таких множителей табулированы, что

позволяет облегчить процентные вычисления денежных потоков.

Наращение денежных потоков происходит при периодическом внесении на

банковский депозит фиксированных сумм с целью накопления финансового фонда

к определенному моменту времени. Например, разместив долгосрочный

облигационный заем, предприятие готовится к погашению суммы основного долга

в конце срока займа путем периодического внесения на банковский счет

фиксированных платежей под установленный процент. Таким образом, к моменту

погашения облигационного займа предприятие накопит достаточные средства в

этом фонде. Аналогичные задачи решаются в ходе формирования Пенсионного

фонда или при накоплении суммы для оплаты обучения детей. Например,

заботясь о своей старости, человек может наряду с обязательными

отчислениями в государственный Пенсионный фонд вносить часть своего

ежемесячного заработка на банковский депозит под проценты. Наращение суммы

такого вклада будет происходить по описанному выше алгоритму. Таким же

путем предприятия могут формировать амортизационный фонд для плановой

замены оборудования.

Обратный по отношению к наращению процесс – дисконтирование денежного

потока имеет еще большую важность для финансового менеджмента, так как в

результате определяются показатели, служащие в настоящее время основными

критериями принятия финансовых решений. Рассмотрим этот процесс более

подробно. Предположим, что рассмотренный в нашем примере денежный поток

характеризует планируемые поступления от реализации инвестиционного

проекта. Доходы должны поступать в конце периода. Так как эти поступления

планируется получить в будущем, а инвестиции для выполнения проекта

необходимы уже сегодня, предприятие должно сопоставить величину будущих

доходов с современной величиной затрат. Как уже было сказано выше,

использование для сравнения арифметической суммы членов потока (15 тыс.

руб.) бессмысленно, так как эта сумма не учитывает влияние фактора времени.

Для обеспечения сопоставимости данных величина будущих поступлений должна

быть приведена к настоящему моменту. Иными словами, данный денежный поток

должен быть дисконтирован по ставке 20 %. Предприятие сможет определить

сегодняшнюю стоимость будущих доходов. При этом процентная ставка будет

выступать в качестве измерителя альтернативной стоимости этих доходов: она

показывает, сколько денег могло бы получить предприятие, если бы разместило

приведенную (сегодняшнюю) стоимость будущих поступлений на банковский

депозит под 20 %.

Дисконтирование денежного потока предполагает дисконтирование каждого его

отдельного члена с последующим суммированием полученных результатов. Для

этого используется дисконтный множитель математического дисконтирования по

сложной процентной ставке i. Операции наращения и дисконтирования денежных

потоков взаимообратимы, т. е. наращенная сумма ренты может быть получена

начислением процентов по соответственной сложной ставке i на современную

(приведенную) величину этой же ренты (S = PV(1+i)n). Процесс

дисконтирования денежного потока отражен в табл. 2.3.2.

Таблица 2.3.2

Дисконтирование денежного потока

|№ |1 |2 |3 |4 |5 |Итого |

|периода | | | | | | |

| |3 |3 |3 |3 |3 |15 |

|1.Член | | | | | | |

|ренты, | | | | | | |

|тыс. | | | | | | |

|руб. | | | | | | |

| 2. |1 |2 |3 |4 |5 | |

|Число | | | | | | |

|лет от | | | | | | |

|начально| | | | | | |

|й даты | | | | | | |

| 3. |1/(1+|1/(1+|1/(1+|1/(1+|1/(1+|– |

|Множител|0,2)1|0,2)2|0,2)3|0,2)4|0,2)5| |

|ь | | | | | | |

|дисконти| | | | | | |

|рования | | | | | | |

| 4. |2,5 |2,08 |1,74 |1,45 |1,21 |8,98 |

|Приведен| | | | | | |

|ная | | | | | | |

|величина| | | | | | |

|, тыс. | | | | | | |

|руб. | | | | | | |

Из таблицы видно, что при альтернативных затратах 20 % сегодняшняя

стоимость будущих доходов составляет 8,98 тыс. руб. Именно эта величина и

должна сравниваться с инвестициями для определения целесообразности

принятия проекта или отказа от его реализации. Обобщая алгоритм, по

которому выполнялись расчеты, получаем общую формулу дисконтирования

денежных потоков

[pic]. (2.3.3)

Так как в нашем примере i и R – постоянные величины, то, снова применяя

правило суммирования геометрической прогрессии, получим частную формулу

дисконтирования аннуитета

[pic]. (2.3.4)

Второй сомножитель этого выражения – (1 – (1 + i)-n)/i называется

дисконтным множителем аннуитета.

Формулы (2.3.2) и (2.3.4) описывают наиболее общие случаи наращения и

дисконтирования аннуитетов: рассматриваются только ограниченные ренты,

выплаты и начисление процентов производятся один раз в году, используется

только эффективная процентная ставка i. Так же как и в случае единичных

сумм, все эти параметры могут меняться. Поэтому существуют модифицированные

формулы наращения и дисконтирования аннуитетов, учитывающие особенности

отдельных денежных потоков. Основные из них, относящиеся к ограниченным

денежным потокам, представлены в табл. 2.3.3.

В таблице не нашли отражения формулы расчета неограниченных денежных

потоков, т. е. вечных рент, или перпетуитетов. Существуют финансовые

инструменты, предполагающие бессрочную выплату доходов их держателям. Одним

из примеров таких ценных бумаг служат так называемые консоли

(консолидированные ренты), эмитируемые британским казначейством начиная с

XVIII в. В случае смерти владельца они передаются по наследству,

обеспечивая тем самым действительную «бесконечность» денежного потока.

Очевидно, что будущую стоимость ренты такого рода определить невозможно –

ее сумма также будет стремиться к бесконечности, однако приведенная

величина вечного денежного потока может быть выражена действительным

числом. Причем формула ее определения очень проста:

[pic], (2.3.17)

где R – член ренты (разовый платеж); i – сложная процентная ставка.

Таблица 2.3.3

Основные формулы наращения и дисконтирования

ограниченных аннуитетов

|Виды рент |Наращение |Дисконтирование |

| Годовая с|[pic] |[pic] |

|начислением |(2.3.5) |(2.3.11) |

|несколько | | |

|раз в году | | |

|(p = 1, | | |

|m > 1) | | |

| p-срочная|[pic] |[pic] |

|с |(2.3.6) |(2.3.12) |

|начислением | | |

|1 раз в году| | |

| | | |

|(p > 1, m = | | |

|1) | | |

| p-срочная|[pic] |[pic] |

|с |(2.3.7) |(2.3.13) |

|начислением | | |

|несколько | | |

|раз в году | | |

|(p > 1, | | |

|m > 1, p = | | |

|m) | | |

| p-срочная|[pic] |[pic] |

|с |(2.3.8) |(2.3.14) |

|начислением | | |

|несколько | | |

|раз в году | | |

|(p > 1, | | |

|m > 1, p ? | | |

|m) | | |

| Годовая с| [pic] | [pic] |

|начислением |(2.3.9) |(2.3.15) |

|непрерывных | | |

|процентов | | |

|(p = 1, d) | | |

| p-срочная|[pic] (2.3.10) | [pic] (2.3.16)|

|с | | |

|начислением | | |

|непрерывных | | |

|процентов | | |

|(p > 1, d) | | |

Например, по условиям страхового договора компания обязуется выплачивать

5 тыс. руб. в год на протяжении неограниченного периода, т. е. вечно. Чему

должна быть равна стоимость этого перпетуитета, если уровень процентной

ставки составит 25 % годовых? Текущая стоимость всех предстоящих платежей

по договору будет равна 20 тыс. руб. (5/0,25).

Если неограниченная рента выплачивается p раз в году и начисление

процентов по ней производится m раз за год, причем m = p, то формула

расчета ее приведенной стоимости принимает вид

[pic], (2.3.18)

где j – номинальная процентная ставка.

Предположим, рассмотренный выше перпетуитет будет выплачиваться дважды в

год по 2,5 тыс. руб., столько же раз будут начисляться проценты (25 % в

этих условиях становится номинальной ставкой). Его стоимость останется

неизменной 20 тыс. руб.

((2,5 + 2,5)/0,25).

В наиболее общем виде (m > 1, p > 1, m ? p) формула приведенной стоимости

перпетуитета записывается следующим образом:

[pic]. (2.3.19)

В принципе, ее можно использовать во всех случаях, подставляя

соответствующие значения параметров m, p, j, или i. Если предположить

четырехразовое начисление процентов по рассматриваемому перпетуитету, то в

соответствии с (19) его текущая стоимость составит: 19,394 тыс. руб.

(5/(2((1 + 0,25/4)4/2 – 1))).

Интересно отметить связь, существующую между годовой вечной и годовой

ограниченной рентами (аннуитетами). Преобразовав правую часть формулы

(2.3.4), получим

[pic]. (2.3.20)

Таким образом, современная величина конечной ренты, имеющей срок n

периодов, может быть представлена как разница между современными величинами

двух вечных рент, выплаты по одной из которых начинаются с первого периода,

а по второй – с периода (n+1).

В случае если член вечной ренты R ежегодно увеличивается с постоянным

темпом прироста g, то приведенная стоимость такой ренты определяется по

формуле

[pic], (2.3.21)

где R1 – член ренты в первом году.

Данная формула имеет смысл при g < i. Она применяется в оценке

обыкновенных акций.

При сравнении приведенной стоимости различных аннуитетов можно избежать

громоздких вычислений, запомнив следующее правило: увеличение числа выплат

по ренте в течение года (p) увеличивает ее текущую стоимость, увеличение

числа начислений процентов (m), наоборот, уменьшает. При заданных значениях

R, n, i (j, d) наиболее высокий результат даст дисконтирование p-срочной

ренты с одним начислением процентов в год (m = 1). Самый низкий результат

при этих же условиях будет получен по годовой ренте (p = 1) с непрерывным

начислением процентов. По мере увеличения p современная величина ренты

будет расти, по мере роста m она будет снижаться. Причем изменение p дает

относительно больший результат, чем изменение m. То есть любая p-срочная

рента даже с непрерывным начислением процентов (m > ?) будет стоить дороже,

чем годовая рента (p = 1) с одним начислением процентов в год (m = 1).

Например, по облигации предусмотрена ежегодная выплата 1 тыс. руб. в

течение 5 лет. Процентная ставка составляет 20 %. При начислении

декурсивных процентов один раз в год стоимость этой ренты по базовой

формуле (2.3.4) составит 2,99 тыс. руб. Если выплаты будут производиться

два раза в год по 500 руб., то по формуле (2.3.12) стоимость ренты будет

равна уже 3,13 тыс. руб. Но если по последнему варианту начислять проценты

два раза в год (2.3.13), текущая величина ренты снизится до 3,07 тыс. руб.

Если же двукратное начисление применить к исходному варианту при p = 1

(11), то приведенная стоимость ренты станет еще меньше – 2,93 тыс. руб.

Самым дешевым будет вариант годовой ренты (p = 1) с непрерывным начислением

процентов (2.3.15) – 2,86 тыс. руб.

2.4. Основные параметры денежных потоков

Несмотря на то что общее количество формул, приведенных в трех предыдущих

главах, уже приблизилось к сотне, можно смело утверждать, что это лишь

малая часть того, что имеется в арсенале финансовых вычислений. Буквально

по каждому из рассмотренных способов осталась масса незатронутых вопросов:

ренты пренумерандо, переменные денежные потоки, использование простых

процентов в анализе рент и так далее, почти до бесконечности. Тем не менее,

усвоив базовые понятия финансовых расчетов, можно заметить, что все

дальнейшие рассуждения строятся по довольно универсальному алгоритму.

Определяется математическая природа понятия и основные ограничения,

накладываемые на него при практическом использовании. Например, сложные

проценты наращиваются в геометрической прогрессии. Они применяются по

большей части в расчетах по долгосрочным финансовым операциям. Затем

находится решение основных задач, связанных с данным понятием – начисление

и дисконтирование по сложным процентным и учетным ставкам. После этого

разрабатывается методика расчета остальных параметров уравнений,

описывающих данное понятие, и решается проблема нахождения эквивалентных

значений отдельных параметров. При этом основным методом решения задач

служат преобразование или приравнивание друг к другу множителей наращения

(дисконтирования) различных показателей. Поняв эти закономерности, можно

отказаться от заучивания всех возможных формул и попытаться применить

данную методику для решения конкретных финансовых задач, держа при этом в

памяти лишь полтора-два десятка основополагающих выражений (например,

формулы расчета декурсивных и антисипативных процентов и т. п.).

Используем данный алгоритм для финансового анализа денежных потоков, в

частности для расчета отдельных параметров финансовых рент. Например,

предприятию через три года предстоит погасить задолженность по

облигационному займу в сумме 10 млн. руб. Для этого оно формирует

погасительный фонд путем ежемесячного размещения денежных средств на

банковский депозит под 15 % годовых сложных процентов с начислением один

раз в год. Чему должна быть равна величина одного взноса на депозит, чтобы

к концу третьего года в погасительном фонде вместе с начисленными

процентами накопилось 10 млн. руб.?

Планируемые предприятием взносы представляют собой трехлетнюю p-срочную

ренту, p = 12, m = 1, будущая стоимость

которой должна быть равна 10 млн. руб. Неизвестным является ее единственный

параметр – член ренты R. В качестве базовой используем формулу (2.3.6) из

табл. 3.3.3. Данное уравнение следует решить относительно R/12 (так как

планируются ежемесячные взносы). Обозначим r = R/12. Преобразовав базовую

формулу, получим

[pic]

Следовательно, размер ежемесячного взноса должен составить примерно 225

тыс. руб. (более точная цифра – 224,908).

Размер долга по займу (10 млн. руб.) был задан как условие предыдущего

примера. На самом деле, часто данный параметр также является вычисляемой

величиной, так как наряду с основной суммой займа должник обязан

выплачивать проценты по нему. Предположим, что 10 млн. руб. – это основная

задолженность по облигационному займу, кроме этого необходимо ежегодно

выплачивать кредиторам 10 % основной суммы в виде процентов. Чему будет

равна сумма ежемесячного взноса в погасительный фонд с учетом процентных

выплат по займу? Так как проценты должны выплачиваться ежегодно и их

годовая сумма составит 1 млн. руб. (10 млн. руб. ( 10 %), нам опять следует

рассчитать член ренты r (R/12) по ренте сроком n = 1 год, p = 12, m =1, i =

15 %. По базовой формуле (2.3.6) его величина составит

[pic]

Ежемесячно в погасительный фонд будет необходимо вносить около 78 тыс.

руб. (более точная цифра – 78,0992) для ежегодной выплаты процентов в сумме

1 млн. руб. Таким образом, общая сумма ежемесячных взносов в погасительный

фонд составит 303 тыс. руб. (225 + 78).

Условиями займа может быть предусмотрено присоединение суммы начисленных

за год процентов к основному долгу и погашение в конце срока наращенной

величины займа. Таким образом, в конце срока эмитенту займа придется

возвратить

13 млн. 310 тыс. руб. (10(1 + 0,1)3). Величину ежемесячного взноса в

погасительный фонд найдем, используя все ту же базисную формулу (2.3.6)

[pic]

Таким образом, ежемесячно необходимо вносить на банковский депозит около

300 тыс. руб., более точно – 299,35).

Аналогичный подход может быть применен к формированию амортизационного

фонда. Известно, что амортизация основных фондов – важнейшая составная

часть чистого денежного потока предприятия, остающаяся в его распоряжении.

В каждом рубле получаемой предприятием выручки содержится доля

амортизационных отчислений. Поэтому нет ничего противоестественного в том,

чтобы предприятие, «расщепляя» поступающую выручку, перечисляло на

банковский депозит сумму амортизации по каждому платежу от покупателя. В

этом случае накопление амортизационного фонда происходило бы значительно

быстрее за счет начисления процентов. Предположим, что по основным фондам

первоначальной стоимостью 50 млн. руб. предприятие начисляет амортизацию по

годовой ставке 12,5 % (линейный метод). Срок службы оборудования – 8 лет.

Ежегодно начисляется 6,25 млн. руб. амортизационных отчислений. Но если

предприятие располагает возможностью размещения денежных средств хотя бы

под 10 % годовых, то для накопления 50 млн. руб. в течение 8 лет ему

понадобится ежегодно размещать на депозите лишь по 4,37 млн. руб.

Преобразовав формулу (2.3.2) из предыдущей главы, получим

[pic]

Если же взносы на депозит производить ежемесячно (p = 12), то, снова

применяя формулу (2.3.6) и деля полученный результат на 12, найдем

[pic]

Ежемесячный взнос на депозит должен составить около 350 тыс. руб. (более

точно – 348,65). При этом ежемесячные амортизационные отчисления по

линейному методу составят

520,8 тыс. руб. (6,25/12). Задачу можно сформулировать иначе: за сколько

лет предприятие возместит первоначальную стоимость основных средств,

размещая на депозите сумму амортизационных отчислений по линейному методу

(520,8 тыс. руб. в месяц или 6,25 млн. руб. в год)? Для решения этой задачи

(нахождение срока ренты n) снова понадобится формула (2.3.6), но теперь она

будет преобразована следующим образом:

[pic]

Полученное дробное число лет в соответствии с правилами выполнения

финансовых расчетов должно быть округлено до ближайшего целого. Однако при

p > 1 округляется произведение np, в нашем случае оно составляет 71,52

(5,96 ( 12). Округлив его до 71 и разделив на 12, получим n = 5,92 года.

При любых способах округления полученное значение на 2 года меньше, чем

срок амортизации основных фондов по линейному методу. Предприятие таким

способом может накопить сумму для замены изношенного оборудования на 2 года

быстрее.

Необходимость выплачивать проценты кредитору на остаток банковской ссуды

или коммерческого кредита ставит перед предприятиями задачу разработки

оптимального плана погашения долга. Дело в том, что, оставляя неизменной

сумму основной задолженности в течение всего срока займа, предприятие будет

вынуждено выплатить максимально возможную сумму процентов по этому займу.

Если же оно периодически будет направлять часть средств на погашение

основного долга, то сможет сэкономить на процентах, которые начисляются на

остаток задолженности. Возможны различные стратегии амортизации займов.

Например, предприятие может периодически уплачивать фиксированную сумму в

погашение основной задолженности. Тогда в каждом новом периоде ему

понадобится меньше денег на оплату процентов, т. е. общие расходы по

обслуживанию долга за период (срочная уплата) будут снижаться. Погашая

ежегодно 2 млн. руб. из общей суммы трехлетнего займа 6 млн. руб.,

выданного под 20 % годовых, предприятие в первый год выплатит 1200 тыс.

руб. процентов (6000 ( 0,2). Срочная уплата за этот период составит 3200

тыс. руб. (2000 + 1200). За второй год проценты составят уже 800 тыс. руб.

(4000 ( 0,2), срочная уплата – 2800 тыс. руб. (2000 + 800) и т.д. Сумма

выплачиваемых процентов будет снижаться в арифметической прогрессии с

первым членом 1200 тыс. руб. (p ( i) и разностью – 400 тыс. руб. (-p (

i/n), n означает число членов прогрессии, в данном примере оно равно 3.

Сумма этой прогрессии будет равна 2400 тыс. руб. (3 ( 1200 – 2 ( 3 (

400/2), а это значительно меньше суммы процентов, которую пришлось бы

уплатить предприятию в случае единовременного погашения основного долга в

конце срока ссуды – 4368 тыс. руб. (6000(1 + + 0,2)3 – 6000).

Возможен другой вариант, когда величина срочной уплаты на протяжении

всего срока займа остается неизменной, но постепенно меняется ее структура

– уменьшается доля, идущая на погашение процентов и увеличивается доля,

направляемая в уплату по основному долгу. В этом случае сначала необходимо

определить размер срочной уплаты, рассчитываемой как величина члена ренты,

текущая стоимость которой равна первоначальной сумме долга при

дисконтировании по процентной ставке, установленной по займу. Преобразовав

формулу приведения аннуитета (4) из предыдущей главы, найдем значение R

[pic]

Для полного погашения задолженности по ссуде понадобится произвести три

погасительных платежа по 2848 тыс. руб. каждый. Не вдаваясь в подробности

расчета структуры срочной уплаты по каждому году, отметим, что в сумме

предприятию придется заплатить по займу 8544 тыс. руб., т. е. общая сумма

процентов составит 2544 тыс. руб. (8544 – 6000), что заметно выше, чем по

первому варианту.

Сопоставление различных вариантов погашения займа только по критерию

общей величины выплаченных процентов не вполне корректно – сравниваются

различные денежные потоки, для которых кроме абсолютных сумм имеет

значение, в каком конкретно периоде времени деньги были уплачены или

получены. Рассмотрим подробнее, что из себя представляет каждый из этих

потоков (табл. 2.4.1). Вследствие действия принципа временной ценности

денег сложение членов этих потоков становится бессмысленной операцией –

платежи, производимые с интервалом в один год, несопоставимы. Поэтому в 5-й

строке табл. 2.4.1 рассчитана дисконтированная по ставке 20 % величина

каждого из потоков. Так как в последней графе этой таблицы представлен

аннуитет, то его расчет произведен по формуле (2.3.4) из предыдущего

параграфа. Два остальных потока состоят из неравных членов, их

дисконтирование произведено по общей формуле (2.3.3). Как видно из

результатов расчетов, наибольшую отрицательную величину (-6472,2) имеет

приведенная сумма платежей по первому потоку, она даже превышает сумму

полученного займа. Следовательно, погашая долг на таких условиях,

предприятие реально несет финансовые потери. Два последних варианта не

ухудшают финансового положения предприятия.

Таблица 2.4.1

Сравнение вариантов выплаты займа

|Члены потока|Варианты погашения займа, тыс. |

| |руб. |

| |возврат |фиксированна|фиксиров|

| |основного |я |анная |

| |долга в |выплата |срочная |

| |конце |основного |уплата |

| |срока |долга | |

| 1. |+6000 |+6000 |+6000 |

|Получение | | | |

|займа | | | |

| 2. Платеж|-1200 |-3200 |-2848,4 |

|в конце | | | |

|первого года| | | |

| 3. Платеж|-1440 |-2800 |-2848,4 |

|в конце | | | |

|второго года| | | |

| 4. Платеж|-7728 |-2400 |-2848,4 |

|в конце | | | |

|третьего | | | |

|года | | | |

| |-6472,2 |-6000 |-6000 |

|5. Приведенн| | | |

|ая к моменту| | | |

|получения | | | |

|займа сумма | | | |

|выплат | | | |

Сравнивая между собой приведенные величины денежных притоков и оттоков по

финансовой операции, определяют такой важнейший финансовый показатель, как

чистая приведенная стоимость (NPV – от английского net present value).

Наиболее общая формула определения этого показателя

[pic] (2.4.1)

где I0 – первоначальные инвестиции в проект (оттоки денег); PV –

приведенная стоимость будущих денежных потоков по проекту.

При использовании этой формулы все денежные притоки (доходы) обозначаются

положительными цифрами, оттоки денежных средств (инвестиции, затраты) –

отрицательными.

В нашем примере первоначально предприятие получало приток денежных

средств (сумма займа – 6 млн. руб.), а затем в течение трех лет производило

денежные расходы, т. е. оттоки средств. Поэтому к первоначальному моменту

приводились не поступления, а затраты. Обычно при реализации инвестиционных

проектов наблюдается обратная картина: сначала предприятие вкладывает

средства, а затем получает периодические доходы от этих вложений. Поэтому,

преобразуя (2.4.1) с учетом правил дисконтирования денежных потоков

(формула (2.3.4) из предыдущей главы), получаем

[pic], (2.4.2)

где n – общий срок финансовой операции (проекта); Rk – элемент

дисконтируемого денежного потока (член ренты) в периоде k; k – номер

периода.

Под процентной ставкой i (в данном случае ее называют ставкой сравнения)

понимается годовая сложная эффективная ставка декурсивных процентов. Срок

операции n в общем случае измеряется в годах. Если же реальная операция не

отвечает этим условиям, т. е. интервалы между платежами не равны году, то в

качестве единицы измерения срока принимаются доли года, измеренные, как

правило, в месяцах, деленных на 12. Например, инвестиции в сумме 500 тыс.

руб. принесут в первый месяц 200 тыс. руб. дополнительного дохода, во

второй – 300 тыс. руб. и в третий – 700 тыс. руб. Ставка сравнения равна 25

%.

Чистая приведенная стоимость данного проекта составит

1 млн. 147 тыс. руб.

[pic]

Довольно распространенной является ошибка, когда в подобных случаях

пытаются рассчитать месячную процентную ставку делением годовой ставки на

12, а срок проекта измеряют в целых месяцах (вместо 1/12 года берут 1

месяц. вместо 2/12 – 2 и т. д.). В этом случае будет получен неправильный

результат, так как возникнет эффект ежемесячного реинвестирования

начисляемых сложных процентов. Чтобы получить эквивалентный результат, для

нахождения месячной ставки необходимо предварительно пересчитать годовую

эффективную ставку i в номинальную j при m = 12 по формуле j = m((1 + i)1/m

– 1) (см. 2.2). В данном случае эквивалентной является номинальная годовая

ставка 22,52 %, разделив которую на 12 можно получить значение для

помесячного дисконтирования денежного потока.

Если денежный поток состоит из одинаковых и равномерно рапределенных

выплат (т. е. представляет собой аннуитет), можно упростить расчет NPV,

воспользовавшись формулами дисконтирования аннуитетов из табл. 2.3.3

предыдущего параграфа. Например, если бы в рассматриваемом проекте было

предусмотрено получение в течение трех месяцев по 400 тыс. руб. дохода

ежемесячно (т. е. R = 4800), то следовало рассчитать приведенную стоимость

аннуитета сроком 3/12 года и числом выплат p = 3. Применив формулу (2.3.12)

из предыдущего параграфа, получим

[pic]

Кроме правильного вычисления чистой приведенной стоимости необходимо

понимать ее финансовый смысл. Положительное значение этого показателя

указывает на финансовую целесообразность осуществления операции или

реализации проекта. Отрицательная NPV свидетельствует об убыточности

инвестирования капитала таким образом. В примере с проектом получено очень

хорошее значение NPV, свидетельствующее о его инвес-тиционной

привлекательности. Возвратившись к данным табл. 2.4.1, можно видеть, что

два последних варианта погашения долга дают нулевую NPV, т. е. в финансовом

плане само по себе пользование заемными средствами не принесет предприятию

ни вреда, ни пользы. Если же оно изберет первый вариант (возврат основной

суммы долга по окончании его срока), то получит отрицательную NPV -472,2

тыс. руб., следовательно, такой план погашения задолженности приведет к

финансовым потерям.

О достоинствах и особенностях чистой приведенной стоимости будет очень

подробно говориться в последующих главах. Остается только заметить: ее

значение для финансового менеджмента настолько высоко, что многократно

окупает затраты труда по изучению и осмыслению всех вышеприведенных формул

финансовых вычислений. Вторым столь же важным финансовым показателем

является внутренняя норма доходности (IRR – от английского internal rate of

return). Рассмотрим еще один инвестиционный проект. Внедрение новой

технологии требует единовременных затрат в сумме 1,2 млн. руб. Затем в

течение четырех лет предприятие планирует получать дополнительный денежный

поток от этих инвестиций в размере: первый год – 280 тыс. руб., второй год

– 750 тыс. руб., третий год – 1 млн. руб. и четвертый год – 800 тыс. руб.

Рассчитаем NPV этого проекта при ставке сравнения 30 % годовых

[pic]

Реализация проекта может принести предприятию

194,4 тыс. руб. чистой приведенной стоимости при условии использования

ставки сравнения 30 %. А при какой процентной ставке проект будет иметь

нулевую NPV, т. е., какой уровень доходности приравняет дисконтированную

величину денежных притоков к сумме первоначальных инвестиций? Взглянув на

формулу расчета NPV, можно сделать вывод, что увеличение ставки i снижает

величину каждого члена потока и общую их сумму, следовательно, чем больше

будет уровень ставки, приравнивающей NPV к нулю, тем более мощным будет сам

положительный денежный поток. Иными словами, мы получаем характеристику

финансовой эффективности проекта, которая как бы заложена внутри него

самого. Поэтому данный параметр и называется внутренней нормой доходности

(иногда используются термины «внутренняя норма рентабельности», «внутренняя

процентная ставка» и др.). Итак, IRR – это такая годовая процентная ставка,

которая приравнивает текущую стоимость денежных притоков по проекту к

величине инвестиций, т. е. делает NPV проекта равным нулю.

Из определения IRR следует, что для ее расчета можно использовать формулу

определения NPV (2.4.2), решив это уравнение относительно i. Однако данная

задача не имеет прямого алгебраического решения, поэтому величину IRR можно

найти или путем подбора значения, или использования какого-либо

итерационного способа (например, метод Ньютона–Рафсона). Широкое

распространение вычислительной техники упростило решение подобных задач,

поэтому в настоящем пособии не будет рассмотрен математический аппарат

расчета IRR «вручную». Наличие ПК с пакетом электронных таблиц практически

снимает проблему. Подберем с помощью компьютера значение i, отвечающее

заданным требованиям, оно составит около 37,9 %. Следовательно, данный

инвестиционный проект обладает доходностью 37,9 %. Сравнивая полученное

значение с доходностью альтернативных проектов, можно выбрать наиболее

эффективный из них.

3. Альтернативные издержки

в финансовом менеджменте

3.1. Сущность альтернативных издержек

Для финансового менеджмента наибольший интерес представляют данные о

будущих денежных потоках предприятия, возникающих в результате принятия

того или иного управленческого решения. В процессе управления управляющая

подсистема должна оказывать воздействие на объект управления. Фактические

денежные потоки, отраженные в учете предприятия, результируют ранее

принятые управленческие решения. Информация об этих потоках является

элементом обратной связи между субъектом и объектом управления. Она имеет

значительную ценность для обоснования управленческих решений, но

результатом этих решений станет изменение будущих, а не сегодняшних

денежных потоков. Для оценки финансово-экономической эффективности

принимаемых решений необходимо производить сопоставления будущих денежных

притоков с будущими оттоками, обусловленными принятием и реализацией данных

решений.

-----------------------

Увеличение

Уменьшение

Страницы: 1, 2, 3, 4